罗默模型：知识为什么能够持续创造财富？

托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson）在1813年的一封信里写道，从我这里得到一个想法的人，他得到了教益，我的想法并没有因此减少，正如用我的蜡烛点燃自己蜡烛的人，得到了光，却没有让我陷入黑暗。一台机器同一时间只能由一个工人使用，一个配方、一条定理、一段程序却可以同时被任意多的人使用。保罗·罗默（Paul Romer）把这个古老的观察变成了一个增长模型，并因此与威廉·诺德豪斯（William Nordhaus）分享了2018年诺贝尔经济学奖。

前两课的结论把增长问题推到了技术上。第一课说明，持续的人均收入增长来自技术进步；第二课的发展核算说明，各国收入差距至少一半来自生产率差别。索洛模型却把技术进步率 $g$ 当作给定的数，不解释它从哪里来。本课讨论知识怎样被生产出来，为什么它能使增长持续下去，以及研发投入、人口规模与长期增长率之间是什么关系。学完本课，读者应能说明知识的经济性质与规模报酬递增的关系，能写出罗默模型与琼斯模型的知识生产函数并求出平衡增长率，能解释「规模效应」为什么受到质疑，也能判断市场提供的研发为何可能不足。前置知识是第一课的平衡增长路径。

一、索洛留下的问题

在索洛模型中，资本积累受边际收益递减的约束，长期增长只能来自技术进步，而技术进步像天气一样从模型之外落下。这种处理在1950年代有它的道理，模型的目的是说明资本积累能做到什么、做不到什么。但它留下一个明显的缺口，经济中最重要的增长来源恰恰没有被解释。

这个缺口还带来政策上的空白。如果技术进步是外生的，研发补贴、专利制度、教育投入和对外开放都不会改变长期增长率，政府能影响的只有收入水平。现实中各国在研发上的投入相差很大，企业为研发投入巨资，专利制度为保护发明延续了几个世纪，这些行为都说明知识是被有意生产出来的，生产知识需要投入资源，也会对激励作出反应。

1980年代，罗默（1986、1990）和罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）开始把技术进步放进模型内部，这类模型统称内生增长理论。罗默1990年的论文《内生技术变化》奠定了这一领域的基本框架，本课以它为主线。

二、知识是什么样的物品

经济学按两个标准给物品分类。第一个标准是竞争性（rivalry），一个人使用时其他人能否同时使用；第二个标准是排他性（excludability），所有者能否阻止别人使用。两个标准组合，得到四类物品。

	有排他性	排他性弱
竞争性	私人物品：面包、机床、一小时的工时	公共池塘资源：公海渔场、拥堵的道路
非竞争性	俱乐部物品：付费软件、受专利保护的配方	公共物品：国防、基础数学定理、天气预报

罗默抓住的是表格的下一行。知识是非竞争性的，一份设计图可以同时指导一千家工厂生产，一千家工厂使用它，不会让这份图纸磨损一点。知识的排他性则可强可弱，取决于技术和制度。专利、商业秘密、加密和许可证可以在一定程度上阻止别人使用，这时知识接近俱乐部物品；基础科学的发现一旦发表就很难排他，接近公共物品。

需要分清的是知识本身与承载知识的东西。一本书是竞争性的，书里的内容是非竞争性的；一个工程师的时间是竞争性的，他想出的方法是非竞争性的。第二课讨论的人力资本属于前者，它附着在具体的人身上，一个人同一时间只能在一个地方工作；本课讨论的知识，即技术水平 $A$ ，属于后者。

三、非竞争性带来规模报酬递增

非竞争性对生产函数有一个直接的推论。设生产函数为 $Y=F(A,K,L)$ ， $A$ 是知识存量， $K$ 和 $L$ 是竞争性的资本与劳动。要把一家工厂的产量翻一番，只需照原样再建一家工厂，资本和劳动各翻一番，知识则不必翻番，两家工厂可以使用同一份图纸。这个「复制论证」说明，对竞争性投入而言规模报酬不变：

F(A,\lambda K,\lambda L)=\lambda F(A,K,L)

既然只增加竞争性投入就能让产出同比例增加，那么知识也增加时，产出增加的比例就超过了投入，即对全部投入而言规模报酬递增：

F(\lambda A,\lambda K,\lambda L)>\lambda F(A,K,L)

规模报酬递增给市场带来一个难题。在完全竞争的市场中，每种投入按边际产出获得报酬。由欧拉定理，对竞争性投入规模报酬不变的生产函数满足

Y=\frac{\partial F}{\partial K}K+\frac{\partial F}{\partial L}L

按边际产出支付资本和劳动以后，产出正好分完，没有剩下任何东西用来回报发明知识的人。如果知识要靠有意的研发投入来生产，完全竞争的市场就无法为研发付费。罗默的解决办法是引入垄断竞争，发明者凭专利等手段获得一定时期的市场力量，把价格定在边际成本之上，用垄断利润回收研发成本。专利保护期限一般为20年，正是为了在激励发明与让知识扩散之间取舍。

这一点改变了经济学对垄断的看法。在静态分析中垄断造成效率损失，在增长理论中，一定程度的市场力量是知识生产的前提，取消一切垄断利润，研发也就失去了动力。

四、罗默模型

下面用查尔斯·琼斯（Charles Jones）教科书中的简化写法表述罗默模型。经济有两个部门。最终产品部门使用资本、劳动和知识生产产品：

Y=K^\alpha (A\,L_Y)^{1-\alpha}

研究部门使用劳动生产新的知识。劳动力总量为 $L$ ，其中比例 $s_R$ 从事研究， $L_A=s_RL$ ，其余 $L_Y=(1-s_R)L$ 从事生产。知识的生产函数为

\dot A=\theta\,L_A\,A

这个方程有两层含义。新知识与研究人员的数量 $L_A$ 成正比，研究人员越多，新发现越多；新知识也与已有的知识存量 $A$ 成正比，今天的研究人员站在前人的肩膀上，已有的知识越多，研究的效率越高。 $\theta$ 是研究的生产率参数。

两边除以 $A$ ，得到技术进步率：

g_A=\frac{\dot A}{A}=\theta\,s_R\,L

技术进步率现在由模型内部决定。从事研究的劳动越多，技术进步越快。资本积累部分与第一课完全相同，只要把外生的 $g$ 换成 $g_A$ ，经济就沿着平衡增长路径前进，人均收入的长期增长率等于 $g_A$ ，人均收入水平为

\frac{Y}{L}=\left(\frac{s_K}{n+g_A+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}(1-s_R)\,A(t)

其中 $s_K$ 是投资率。 $(1-s_R)$ 一项说明研究的代价，研究人员不生产最终产品，研究比重提高的当年，产出会略微下降。

举一个数字例子。取 $\theta L=0.3$ ，研究人员占劳动力的5%，技术进步率为 $0.3\times0.05=1.5\%$ 。研究人员比重提高到10%，技术进步率永久提高到3%，人均收入翻一番所需的时间从约46年缩短到约23年。与第一课的储蓄率不同，研究投入在罗默模型中有增长效应，不只是水平效应。原因在于知识生产方程中，已有知识对新知识的贡献没有递减， $\dot A$ 与 $A$ 成正比，知识积累不会像资本那样停下来。

五、规模效应与琼斯的批评

罗默模型有一个很强的推论。 $g_A=\theta s_RL$ 说明增长率与研究人员的数量成正比，人口越多、研究人员越多，经济增长越快。这被称为规模效应（scale effect）。如果人口持续增长，研究人员随之增长，技术进步率就会越来越高，增长不断加速。

琼斯（1995）用美国的数据检验了这个推论。二十世纪下半叶，美国从事研发的科学家和工程师人数增长了数倍，人均收入增长率和全要素生产率增长率却没有上升的趋势。用世界银行的数据计算，美国的研究人员总数从1996年的约86万增加到2022年的约165万，接近翻了一番；同期研发支出占GDP比重从2.45%升到3.49%。按佩恩世界表计算，美国全要素生产率的增长率在各个十年间起伏，却看不到任何随研究人员增加而上升的迹象。

图1按佩恩世界表11.0的不变价全要素生产率指数计算，最后一段为2014—2023年。1954至2023年平均每年约0.64%，各时段起伏较大，没有随研究人员增加而上升的趋势。

琼斯据此修改了知识生产函数：

\dot A=\theta\,L_A^{\lambda}\,A^{\phi},\qquad 0<\lambda\le1,\ \phi<1

$\lambda<1$ 表示研究人员之间有重复劳动，几个团队同时研究同一个问题，最后只有一个成果有用，研究人员加倍，新知识增加不到一倍。 $\phi<1$ 表示已有知识对研究效率的帮助会递减，容易的点子先被找到，后来的问题越来越难。罗默模型是 $\lambda=1$ 、 $\phi=1$ 的特例。

技术进步率为 $g_A=\theta L_A^{\lambda}A^{\phi-1}$ 。在平衡增长路径上 $g_A$ 不变，所以等式右边的增长率为零。设研究人员比重不变， $L_A$ 以人口增长率 $n$ 增长，于是 $\lambda n+(\phi-1)g_A=0$ ，解得

g_A^*=\frac{\lambda\,n}{1-\phi}

长期增长率只取决于人口增长率和知识生产函数的两个参数，与研究人员比重 $s_R$ 无关。研究投入的作用又回到了第一课储蓄率的位置，提高研究比重会让技术进步率暂时上升，再逐渐回落，长期只抬高知识存量和收入的水平。因为技术进步率仍由研究行为决定、长期增长率却不受政策影响，这类模型被称为半内生增长模型（semi-endogenous growth）。

取 $\lambda=0.75$ 、 $\phi=0.5$ 、 $n=1\%$ ，长期技术进步率为 $0.75\times0.01/0.5=1.5\%$ 。人口增长率降到0.3%，长期技术进步率随之降到约0.45%。这个推论把增长与人口联系在一起，生育率持续下降、人口开始减少的经济体，在这个模型里面临长期增长放缓的压力。

规模效应在长期历史中仍有证据。迈克尔·克雷默（Michael Kremer，1993）发现，在人类历史的大部分时间里，世界人口越多，人口增长率越高，这与「人越多、点子越多、技术进步越快」相符。他还比较了冰河时代结束后海平面上升分隔开的几块大陆，面积和人口最大的欧亚非大陆技术最先进，美洲次之，澳大利亚再次，与世隔绝的塔斯马尼亚技术水平最低。人口规模对技术水平的作用在长期历史中很清楚，在现代发达国家的数据中，它主要体现在收入水平上，在增长率上并不明显。

六、互动图：研究人员翻倍以后

下面的实验在第0年把研究人员比重从5%改为滑块上的数值，同时画出罗默模型与琼斯模型的反应。两个模型都校准为改变之前的技术进步率相同。

互动图研究人员翻倍以后：罗默模型与琼斯模型第 0 年研究人员占劳动力比重从 5% 改为下方数值；两模型改变前的增长率相同

改变后的研究人员比重 s_R10.0%人口增长率 n1.0%研究人员的重复度 λ0.75知识存量的溢出 φ0.50

技术进步率（改变前 = 第 0 年以前）

人均收入（不改变时 = 100）

改变前增长率 λn/(1−φ): 1.50%
罗默：长期增长率: 3.00%
琼斯：长期增长率: 1.50%　不变
琼斯：长期收入水平: 268　半程约 92 年

罗默模型中研究人员翻倍，技术进步率永久翻倍；琼斯模型中技术进步率先升后回落，研发投入只抬高收入水平，长期增长率由人口增长率与 λ、φ 决定。两个模型中，研究人员增加的当年人均收入都略降，因为研究人员不生产最终产品。

默认设定把研究人员比重提高一倍。罗默模型中技术进步率从1.5%永久跳到3%，人均收入与原路径的差距越拉越大；琼斯模型中技术进步率先升到约2.5%，随后在一百年间缓慢回落，长期收入水平提高到原路径的约2.7倍，走完一半差距约需90年。半内生模型的转型非常缓慢，这意味着在几十年的时间里，两种模型的预言很难用数据区分。把人口增长率调低，可以看到琼斯模型的长期增长率随之下降。

七、点子越来越难找

琼斯模型中的 $\phi<1$ 有了更直接的证据。布卢姆、琼斯、范里宁与韦布（Bloom, Jones, Van Reenen and Webb，2020）测量了研究生产率，即每单位研究投入带来的技术进步。以半导体为例，摩尔定律所描述的芯片集成度大约每两年翻一番，这个速度维持了半个世纪，但实现同样的翻番所需要的研究人员，现在是1970年代初的18倍以上。他们在农作物单产、新药研发和企业层面的数据中都发现了类似的规律，技术进步的速度大致稳定，维持这个速度所需要的研究投入却不断增加。

这说明研究的平均生产率在下降，点子越来越难找。保持技术进步不减速，需要研究人员持续增长。过去几十年，这个增长部分来自人口增长，更多来自研究人员比重的提高，即越来越多的劳动者接受高等教育、进入研发行业。比重不可能无限提高，人口增长又在放缓，这是一些经济学家对发达国家长期增长前景偏谨慎的理由。

另一方面，新的研究力量也在进入。世界银行的数据显示，中国的研发支出占GDP比重从1996年的0.56%升到2023年的2.58%，研究人员总数从约54万增加到约297万；韩国的研发支出比重从2.14%升到4.94%，每百万人口的研究人员数量从约2200人增加到约9500人。从全球知识生产的角度看，这些国家加入研发，相当于增加了 $L_A$ 。

图2数据来自世界银行世界发展指标。以色列与韩国的研发强度居世界前列，中国在二十多年间从不到0.6%升到2.6%左右。

八、市场提供的研发够不够

罗默模型中研发由追求垄断利润的企业提供。市场提供的研发数量可能偏离社会的最优水平，偏离的方向有几种来源。

研发可能偏少的理由有三条。第一，知识溢出，今天的发明提高了未来所有研究者的效率（ $\phi>0$ ），发明者得不到这部分回报。第二，消费者剩余，垄断定价下发明者只能拿走发明创造价值的一部分。第三，知识的排他性有限，模仿者可以搭便车。研发可能偏多的理由也有两条。第一，重复劳动（ $\lambda<1$ ），多个企业争夺同一个专利，社会只需要一个胜者。第二，替代旧发明，新产品从旧产品手中夺走利润，企业私人得到的回报中有一部分只是从别人那里转移过来的，这一点在熊彼特式的创造性破坏模型中更为突出。

哪一方面占上风是一个经验问题。琼斯与威廉姆斯（Jones and Williams，1998）用研发回报率的估计值做了计算，认为美国研发投入的最优水平至少是实际水平的二到四倍。多数经济学家据此支持研发税收抵免、政府资助基础研究等政策。基础研究的排他性最弱、溢出最强，企业最没有动力去做，各国政府和大学是它的主要资助者。

专利制度的设计也包含同样的取舍。保护期越长、范围越宽，发明的激励越强，知识扩散得越慢，后来者在其基础上改进也越难。最优的知识产权保护介于零与无限之间，要在激励发明与知识扩散之间取得平衡。

九、从软件、芯片到大模型

知识的非竞争性在数字产业中表现得最明显。一套操作系统的研发要投入数千名工程师多年的时间，复制一份的边际成本却接近零；一款芯片的设计要投入巨额研发费用，设计完成后每多生产一片的成本主要是材料和制造。这类产业的成本结构是高固定成本、低边际成本，产品按边际成本定价无法收回研发投入，企业依赖知识产权、网络效应和市场力量维持高于边际成本的价格，这正是罗默模型所描述的市场结构。

近年的大语言模型是一个更新的例子。训练一个前沿模型需要大量的算力、数据和研究人员，训练完成后，模型可以同时为大量用户服务，每次使用的成本远低于训练成本。按罗默模型的说法，模型的参数是一份非竞争性的知识，研发投入集中在少数企业，回报依赖于它们在一定时期内的领先地位。这类技术会不会提高研究本身的生产率，即提高 $\theta$ 或改变 $\phi$ ，是增长理论当前讨论的一个问题，目前还没有定论。

十、模型的边界

罗默模型把技术进步放进了模型内部，但有几个方面仍然处理得很粗。模型中的新知识以新产品种类的形式出现，新产品与旧产品并存，没有被淘汰的企业。现实中的技术进步常常伴随新企业取代旧企业、新产品淘汰旧产品，菲利普·阿吉翁（Philippe Aghion）与彼得·豪伊特（Peter Howitt）在1992年提出的熊彼特增长模型专门刻画这一过程，本课程「增长与发展」单元的规划中有这一课。

知识在国家之间的扩散也没有被充分讨论。对多数国家而言，技术进步主要来自学习和采用别国已有的技术，在前沿上的原创发明只占一小部分。一个国家能否吸收外国技术，取决于它的教育水平、开放程度、制度与企业能力，这些因素联系着第二课的人力资本与条件收敛。研发统计还有测量问题，研发支出和研究人员数量只记录正式的研发活动，大量在生产中边干边学、在组织和管理上的改进，并不出现在研发统计中。

十一、几个常见误解

第一个误解是把非竞争性等同于免费。知识可以被无数人同时使用，但发现它要付出成本，学会使用它也要付出成本。一份公开的论文谁都能读，读懂它需要多年的训练；一项开源软件可以免费下载，把它部署到企业的生产流程中，要投入工程师的时间。所以知识的传播并不自动发生，吸收能力决定了一个国家能从世界知识存量中拿到多少，这正是第二课人力资本与本课相衔接的地方。

第二个误解是认为知识产权保护越强越好。保护越强，发明者能收回的利润越多，研发的激励越强；但垄断定价减少了知识的使用，后来的研究者要在前人的成果上继续改进，也要支付更高的许可成本。第八节已经说明研发投入可能不足，补足的手段除了延长或扩大专利，还有研发税收抵免、政府资助基础研究和奖金制度，这些手段对知识扩散的妨碍较小，各国通常组合使用。

第三个误解是认为研究人员越多，增长一定越快。罗默模型确实有这个推论，但第五节的数据显示，美国研究人员接近翻番，生产率增速并没有上升。琼斯模型的解释是知识生产收益递减，研究投入增加抬高的是收入水平，长期增长率由人口和研究人员的增长速度决定。对一个国家来说，增加研究投入仍然值得，只是它的回报更多体现为更高的收入水平，以及在转型期内较快的增长。

小结

概念	含义	核心公式或结论
非竞争性	知识可被任意多人同时使用	复制论证：对竞争性投入规模报酬不变
规模报酬递增	知识与竞争性投入一起增加	按边际产出付酬后无剩余回报发明
罗默模型	研究部门生产知识	$\dot A=\theta L_A A$ ， $g_A=\theta s_R L$
规模效应	增长率与研究人员数量成正比	美国研究人员倍增而生产率增速未升
琼斯模型	知识生产收益递减	$g_A^*=\lambda n/(1-\phi)$
研究生产率下降	点子越来越难找	维持摩尔定律所需研究人员增加18倍以上
研发的社会回报	市场提供的研发可能不足	最优研发约为实际的二到四倍

本课的结论有三条。第一，知识的非竞争性使经济对全部投入规模报酬递增，这让长期增长可以由知识积累持续推动，也意味着知识的生产需要一定的市场力量或公共资助。第二，研发投入决定技术进步，但它对长期增长率的影响取决于知识生产是否收益递减；数据更支持半内生的琼斯模型，长期增长最终与人口和研究人员的增长相联系。第三，市场提供的研发很可能低于社会最优水平，基础研究尤其如此，这为研发补贴和公共科研投入提供了理由。

课后练习

练习一　在罗默模型中取 $\theta L=0.4$ 。研究人员比重为5%时技术进步率是多少？比重提高到7.5%呢？人均收入翻一番所需的年数各是多少？

练习二　在琼斯模型中取 $\lambda=1$ 、 $\phi=0.5$ 。人口增长率为1%时，长期技术进步率是多少？人口增长率降到0.5%呢？

练习三　沿用练习二的参数，研究人员比重从5%提高到10%，长期的知识存量水平会变成原来的多少倍？考虑到研究人员不生产最终产品，人均收入水平会变成原来的多少倍？

练习四　设 $Y=AK^\alpha L^{1-\alpha}$ ，资本与劳动按各自的边际产出获得报酬。证明产出正好被资本和劳动分完，并说明这对知识的生产意味着什么。

练习五　判断下列物品属于哪一类（私人物品、公共池塘资源、俱乐部物品、公共物品）：卫星导航信号、一剂疫苗、一种受专利保护的疫苗配方、近海渔场、勾股定理。

参考答案

练习一　 $g_A=0.4\times0.05=2\%$ ，翻番约需 $\ln2/0.02\approx35$ 年；比重为7.5%时 $g_A=3\%$ ，翻番约需23年。

练习二　 $g_A^*=\lambda n/(1-\phi)$ 。 $n=1\%$ 时为2%； $n=0.5\%$ 时为1%。

练习三　平衡增长路径上 $A^*\propto(s_RL)^{\lambda/(1-\phi)}$ ，研究比重翻番，知识存量变为 $2^{1/0.5}=4$ 倍。人均收入还要乘以 $(1-0.10)/(1-0.05)\approx0.947$ ，约为原来的3.8倍。

练习四　 $\partial Y/\partial K\cdot K=\alpha Y$ ， $\partial Y/\partial L\cdot L=(1-\alpha)Y$ ，两者之和为 $Y$ 。资本和劳动按边际产出得到报酬后，产出已经分完，没有剩余支付给知识的生产者，所以在完全竞争下无人愿意为生产知识投入资源，知识的生产需要垄断利润、公共资助或其他回报方式。

练习五　卫星导航信号是公共物品；一剂疫苗是私人物品；受专利保护的疫苗配方是非竞争性、有排他性的俱乐部物品；近海渔场是公共池塘资源；勾股定理是公共物品。

数据说明

研发支出占GDP比重与每百万人口研究人员数来自世界银行世界发展指标，研究人员总数由本刊按人口换算。美国全要素生产率增长率由本刊根据佩恩世界表11.0的不变价全要素生产率指数计算，为各时段的年均对数增长率。世界发展指标中研究人员数据的口径为全时当量。

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