索洛模型：增长为什么不能只靠投资？

一家工厂添置第一台数控机床，熟练工人的产量可能大幅提高；第二台、第三台继续扩大生产能力。如果工人数量不增加、厂房不扩建、订单也不增加，第五十台机床大概多数时间都闲着。一个国家的经济面临相似的问题。发展初期，道路、港口、电力、厂房和机器相对匮乏，投资很容易找到生产用途；资本存量增加以后，继续复制已有项目的收益越来越低。依靠不断增加投资，能否让人均收入永远保持同样的增长速度？

罗伯特·索洛（Robert Solow）与特雷弗·斯旺（Trevor Swan）在1956年各自发表了同一个增长模型。索洛的论文《对经济增长理论的一个贡献》刊于《经济学季刊》（Quarterly Journal of Economics），斯旺的《经济增长与资本积累》刊于澳大利亚的《经济记录》（Economic Record）。这个模型后来被称为索洛—斯旺模型，或简称索洛模型，索洛因增长理论的贡献获得1987年诺贝尔经济学奖。七十年来，几乎所有关于长期增长的讨论都从它出发，后来的拉姆齐模型、内生增长理论和增长实证研究，都是在它的框架上修改某一个假设。

本课讨论三个问题。第一，一个经济体为什么能够持续增长；第二，为什么有些国家比另一些国家富裕；第三，为什么单靠增加资本投入，不能让人均收入的增长率一直维持在高位。学完本课，读者应能写出模型的基本方程并求出稳态，能区分储蓄率变化带来的「水平效应」与技术进步带来的「增长效应」，能用黄金律判断储蓄是否过多，也能读懂增长核算中的索洛余值。前置知识只需要一元函数求导和对数的基本性质。

一、问题从哪里来

二十世纪三四十年代，罗伊·哈罗德（Roy Harrod，1939）和埃夫塞·多马（Evsey Domar，1946）先后提出一个增长模型，后来合称哈罗德—多马模型。它假定生产一单位产出需要固定数量的资本，即资本产出比 $v=K/Y$ 不变，于是经济的增长率等于储蓄率除以资本产出比，$g_Y=s/v$。这个公式简洁好用，战后很长一段时间被发展规划机构用来估算「为了达到某个增长目标需要多少投资」。

这个模型有一个难以接受的含义。由储蓄决定的增长率 $s/v$ 与劳动力增长率 $n$ 是两个各自给定的数，只有在二者恰好相等时，资本和劳动才能同步增长、充分就业才能维持；稍有偏离，经济要么出现越来越多的失业，要么出现越来越多闲置的机器。这被称为「刀锋」问题，即均衡增长像走在刀刃上一样不稳定。现实中的经济并没有表现出这种极端的不稳定。

索洛的修改只有一处，就是放弃固定的资本产出比，允许资本和劳动在生产中相互替代。机器多而工人少时，每台机器的产出下降，资本产出比上升；反之亦然。这样一来，资本产出比可以自行调整，使储蓄决定的资本积累与劳动增长协调起来，刀锋问题随之消失。这一处修改带出的核心机制是资本的边际收益递减，本课后面的全部结论几乎都由它推出。

模型要解释的对象，是尼古拉斯·卡尔多（Nicholas Kaldor）在1961年归纳的一组「典型事实」。在发达经济体的长期数据中，人均产出持续增长，增长率大体稳定；人均资本持续增长；资本产出比大致不变；资本收益率大致不变；资本与劳动在国民收入中的份额大致不变。一个好的增长模型应当同时得出这五条，索洛模型做到了。

二、模型的设定

索洛模型描述的是一个高度简化的经济，读者需要先知道它舍弃了什么。经济是封闭的，没有对外贸易和资本流动；政府暂不出现；只生产一种产品，这种产品既可以消费，也可以作为资本投入生产。劳动者全部就业，劳动力数量按固定速度增长。储蓄率是一个外生给定的常数，储蓄全部转化为投资。技术水平也按外生给定的速度提高，模型不解释它从哪里来。

在这些假设下，模型只追踪一个状态变量，即资本存量。给定某一时刻的资本，生产函数决定产出，储蓄率决定其中多少变成新资本，折旧与劳动增长决定有多少资本被「抵消」掉，于是下一时刻的资本也就确定了。这种「一个变量、一条运动方程」的结构，使模型可以完整求解，也使它成为学习动态经济学的标准入门。

阅读本课的公式时，有一个约定需要记住，大写字母代表经济总量，小写字母代表平均到每个劳动者或每单位有效劳动上的量。变量上方加一点表示它对时间的变化率，例如 $\dot K=dK/dt$。星号 $^*$ 代表稳态值，它既不是最大值，也不是最优值，这一点在讲黄金律时尤其重要。

符号	名称	含义
$Y$	产出	总产出，对应实际GDP，是流量
$K$	资本	机器、厂房、设备、基础设施的存量
$L$	劳动	劳动投入或劳动者人数
$A$	技术	劳动效率，也称劳动增进型技术
$AL$	有效劳动	以效率单位计的劳动投入
$C,\ S,\ I$	消费、储蓄、投资	均为流量
$s$	储蓄率	产出中用于储蓄的比例，$0<s<1$
$\delta$	折旧率	每年损耗的资本占资本存量的比例
$n$	人口增长率	$\dot L/L$
$g$	技术进步率	$\dot A/A$
$\alpha$	资本产出弹性	竞争条件下也等于资本收入份额
$k,\ y,\ c$	集约形式变量	每单位有效劳动（或每个劳动者）的资本、产出、消费
$f(k)$	集约形式生产函数	$y=f(k)$
$f'(k)$	资本边际产出	MPK，生产函数对资本的一阶导数

参数的量级可以这样把握。储蓄率在多数经济体介于百分之十五到四十五之间；折旧率按资本存量计约为每年百分之四到六；发达国家人口增长率多在百分之一以下；长期技术进步率大约每年百分之一到二。资本收入份额在国民账户里通常接近三分之一，这是教材取 $\alpha=1/3$ 的来由。本课一律使用连续时间和连续增长率，因此 $g=0.02$ 读作「劳动效率每年提高约百分之二」。

三、生产函数

生产函数描述资本与有效劳动怎样共同创造产出，一般形式为

$$Y=F(K,AL)$$

技术 $A$ 乘在劳动上，称为劳动增进型（labor-augmenting）或哈罗德中性技术进步。$A$ 翻一番，意味着同样一个劳动者在生产中相当于原来的两个效率单位。为什么技术要以这种方式进入模型，第六节会给出理由。

新古典生产函数要满足三个性质。第一，两种投入的边际产出都为正，$\partial F/\partial K>0$；第二，边际产出递减，在劳动不变时持续追加资本，每追加一单位带来的产出越来越少，$\partial^2F/\partial K^2<0$；第三，规模报酬不变，资本和有效劳动同时扩大 $\lambda$ 倍，产出也扩大 $\lambda$ 倍，即 $F(\lambda K,\lambda AL)=\lambda F(K,AL)$。为保证稳态存在，教材通常再加上稻田条件（Inada conditions），即资本趋于零时边际产出趋于无穷大，资本趋于无穷大时边际产出趋于零。资本极度稀缺时，第一台机器的回报极高；资本极度充裕时，再多一台机器几乎不增加产出。

规模报酬不变允许把生产函数写成「每单位有效劳动」的形式。令 $\lambda=1/(AL)$，代入上式得到

$$\frac{Y}{AL}=F\left(\frac{K}{AL},1\right)\equiv f(k)$$

于是 $y=f(k)$，每单位有效劳动的产出只取决于每单位有效劳动拥有多少资本。经济的规模本身不影响效率，这是整个模型可以用一个变量 $k$ 来描述的原因。

教材中最常用的具体形式是柯布—道格拉斯生产函数（Cobb–Douglas production function）：

$$Y=K^\alpha(AL)^{1-\alpha},\qquad y=k^\alpha$$

取 $\alpha=1/3$，资本投入增加百分之一，产出约增加百分之零点三三；有效劳动增加百分之一，产出约增加百分之零点六七。这两个数字就是资本和劳动的产出弹性。

柯布—道格拉斯函数还有一个经验上的优点。在完全竞争的要素市场上，企业按边际产出支付要素报酬，资本的租金率 $r_K=\partial Y/\partial K=\alpha Y/K$，于是资本收入占总产出的份额为 $r_KK/Y=\alpha$，劳动份额为 $1-\alpha$，二者都是常数，与卡尔多事实中「要素份额大致不变」相符。反过来，国民账户中资本份额约三分之一，也就成了估计 $\alpha$ 的依据。

四、储蓄怎样变成资本

在没有政府和对外贸易的封闭经济中，产出只有两种用途：

$$Y=C+I$$

模型假定储蓄率固定为 $s$，储蓄全部转化为投资，因此 $S=I=sY$，消费 $C=(1-s)Y$。设想一个经济体年产出一百万亿元、储蓄率百分之三十，那么消费七十万亿元，储蓄与投资各三十万亿元。储蓄率不变是一个很强的假设，它省略了家庭如何在今天消费和明天消费之间权衡的问题，这个问题留给后面的拉姆齐模型处理。

投资不会全部变成净增的资本，因为原有资本每年都在折旧。资本积累方程为

$$\dot K=sY-\delta K$$

右边第一项是新增的总投资，第二项是折旧造成的损耗。新增投资大于折旧，资本存量增加；小于折旧，资本存量减少。离散时间里这条方程写作 $K_{t+1}=(1-\delta)K_t+sY_t$，含义相同。

用一个数字可以看出折旧的分量。设资本产出比为三、折旧率为百分之五，每年仅补偿折旧就要花掉相当于GDP百分之十五的投资；若储蓄率只有百分之十五，全部投资都用来补偿折旧，资本存量停止增长。资本存量越大，维持它所需的投资越多，这是理解后面稳态概念的第一步。

五、人均资本的运动方程

研究增长时，需要看的是平均每个劳动者拥有多少资本，总资本本身说明不了生活水平。一个国家机器数量每年增长百分之五，劳动人口却增长百分之八，平均每个劳动者拥有的机器实际上在减少。所以先在没有技术进步的情形下，把总量方程改写成人均方程。

令 $k=K/L$，$y=Y/L=f(k)$，劳动人口按固定速度增长，$\dot L/L=n$。对 $k=K/L$ 取对数再对时间求导，得到增长率之间的关系

$$\frac{\dot k}{k}=\frac{\dot K}{K}-\frac{\dot L}{L}$$

两边乘以 $k$，并把资本积累方程 $\dot K=sY-\delta K$ 代入：

$$\dot k=\frac{sY-\delta K}{L}-nk=sf(k)-\delta k-nk$$

整理后就是没有技术进步的索洛模型基本方程：

$$\dot k=sf(k)-(n+\delta)k$$

方程右边由三项组成。$sf(k)$ 是每个劳动者获得的新增投资，使 $k$ 增加；$\delta k$ 是折旧，使 $k$ 减少；$nk$ 是新加入的劳动者也需要配备资本，同样使 $k$ 减少。$nk$ 常被称为资本稀释（capital dilution），这部分资本在物理上完好无损，只是由更多的劳动者分享。$(n+\delta)k$ 合在一起，是让人均资本保持不变所必需的投资。

六、加入技术进步

如果没有技术进步，经济最终会停在某个人均资本水平上，人均产出随之停止增长。这与发达国家两百年来劳动生产率持续提高的事实不符，所以模型需要引入技术进步。设劳动效率按外生的速度提高：

$$\frac{\dot A}{A}=g$$

所谓外生（exogenous），指技术增长率在模型中作为给定条件，模型不解释研发、教育或制度怎样决定它。

技术为什么要以劳动增进的方式写进生产函数？宇泽弘文（Hirofumi Uzawa）在1961年证明，在规模报酬不变的生产函数下，经济若要存在一条各变量以不变速度增长、资本产出比也不变的平衡增长路径，技术进步在长期必须表现为劳动增进型。卡尔多事实中资本产出比大致不变，因此模型采用这种设定。柯布—道格拉斯函数是一个例外，在它的形式下三种写法可以相互换算，第十三节的增长核算会用到这一点。

有了技术进步，研究对象从「每个劳动者」换成「每单位有效劳动」。重新定义

$$k=\frac{K}{AL},\qquad y=\frac{Y}{AL}=f(k)$$

这里的 $k$、$y$ 与第五节字母相同、含义不同。第五节的 $k=K/L$ 是每个劳动者拥有的资本，这里的 $k=K/(AL)$ 是每个效率单位劳动拥有的资本。读教材时混淆这两组定义，是最常见的错误。

有效劳动 $AL$ 的增长率是 $n+g$。对 $k=K/(AL)$ 取对数求导，有 $\dot k/k=\dot K/K-n-g$，代入资本积累方程，得到完整的索洛模型动态方程：

$$\dot k=sf(k)-(\delta+n+g)k$$

右边第二项称为维持性投资或保本投资（break-even investment），它由三部分构成。$\delta k$ 抵消折旧；$nk$ 为新增的劳动者配置资本；$gk$ 使资本配置跟上劳动效率的提高，一个人的效率提高了，要发挥这份效率，也需要更多的设备。取 $\delta=5\%$、$n=1\%$、$g=2\%$，每年需要相当于资本存量百分之八的投资，才能让每单位有效劳动的资本不下降。

七、稳态

稳态（steady state）指每单位有效劳动的资本不再变化的状态。此时新增投资恰好等于维持性投资，

$$\dot k=0\quad\Longleftrightarrow\quad sf(k^*)=(\delta+n+g)k^*$$

下面的互动图把这条条件画了出来。弯曲的曲线是实际投资 $sf(k)$，它随资本增加而上升，但上升得越来越慢，这是边际产出递减的几何表现；向上倾斜的直线是维持性投资 $(\delta+n+g)k$，它与资本成比例增加。两条线的交点就是稳态资本 $k^*$。图中还画出了产出曲线 $f(k)$，稳态处产出与投资之间的距离就是消费。拖动滑块改变参数，可以看到交点怎样移动；下方的转型路径图显示经济从原来的稳态出发，用多少年走到新的稳态。

稳态为什么会自动达到？当 $k<k^*$ 时，曲线在直线上方，实际投资多于维持资本所需，$\dot k>0$，资本继续积累；当 $k>k^*$ 时，曲线在直线下方，投资不足以维持现有资本，$\dot k<0$，资本逐渐回落。无论从哪一边出发，经济都向 $k^*$ 靠拢，所以这个稳态是稳定的。稳定性来自边际产出递减，资本越少，单位资本带来的新增投资 $sf(k)/k$ 越高，资本越多，这个比率越低；哈罗德—多马模型中这个比率是常数，所以没有自动收敛的力量。

在柯布—道格拉斯情形下，稳态可以直接解出。由 $sk^\alpha=(\delta+n+g)k$ 得 $k^{1-\alpha}=s/(\delta+n+g)$，于是

$$k^*=\left(\frac{s}{\delta+n+g}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}},\qquad y^*=\left(\frac{s}{\delta+n+g}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}},\qquad c^*=(1-s)\,y^*$$

这三个公式回答了一个问题，即一个经济体长期的资本、产出与消费水平由什么决定。在模型之内，答案是储蓄率、折旧率、人口增长率、技术进步率和资本产出弹性。储蓄率越高，稳态越高；折旧、人口增长和技术进步越快，维持性投资越大，稳态越低。还要注意这些都是每单位有效劳动的量，一个国家实际的人均收入等于 $A\cdot y^*$，还要乘上它的技术水平。

八、一个完整的数字案例

取一组接近发达经济体的参数：$\alpha=1/3$，$s=24\%$，$\delta=5\%$，$n=1\%$，$g=2\%$，生产函数为 $y=k^{1/3}$。

第一步，维持性投资率为 $\delta+n+g=0.05+0.01+0.02=0.08$。第二步，求稳态资本，

$$k^*=\left(\frac{0.24}{0.08}\right)^{3/2}=3^{1.5}\approx5.196$$

第三步，稳态产出 $y^*=(5.196)^{1/3}=\sqrt3\approx1.732$。第四步，投资 $i^*=0.24\times1.732\approx0.416$，消费 $c^*=0.76\times1.732\approx1.316$。可以验算，维持性投资 $0.08\times5.196\approx0.416$，恰好等于实际投资。

稳态变量	数值	说明
资本 $k^*$	5.196	每单位有效劳动
产出 $y^*$	1.732	每单位有效劳动
投资 $i^*$	0.416	产出的24%
消费 $c^*$	1.316	产出的76%
资本产出比 $k^*/y^*$	3.0	等于 $s/(\delta+n+g)$
资本边际产出 MPK	0.111	$\alpha\,y^*/k^*$
实际利率 $r$	6.1%	MPK减去折旧率

表的后三行值得多看一眼。稳态资本产出比 $k^*/y^*=s/(\delta+n+g)=3$，与发达经济体常见的估计值（约为三）相近；资本边际产出 $\alpha y^*/k^*=1/9\approx11.1\%$，扣除折旧后的实际收益率约为百分之六。这些量在稳态中都是常数，正对应卡尔多事实中的「资本产出比不变」与「资本收益率不变」。一组只有五个参数的模型，能给出与数据量级相符的资本产出比和收益率，这是它被广泛采用的一个原因。

九、转型动态与收敛速度

稳态描述的是终点，经济从起点走到终点需要多长时间，同样重要。仍用上面的参数，假设经济起步时每单位有效劳动的资本只有稳态的四分之一，$k_0\approx1.30$，下表是按动态方程逐年推算的结果。

年份	资本 $k$	产出 $y$	资本增长率	产出额外增长率	距稳态缺口
0	1.30	1.09	12.2%	4.1%	100%
5	2.05	1.27	6.9%	2.3%	81%
10	2.70	1.39	4.4%	1.5%	64%
20	3.67	1.54	2.1%	0.7%	39%
30	4.28	1.62	1.1%	0.4%	24%
40	4.65	1.67	0.6%	0.2%	14%
60	5.01	1.71	0.2%	0.1%	5%

「产出额外增长率」指 $y$ 的增长率，即每单位有效劳动产出的增长；实际人均产出的增长率还要再加上技术进步的百分之二。起步时资本稀缺、边际产出很高，人均收入每年增长约百分之六（4.1%加2%），二十年后降到不足百分之三，六十年后几乎只剩技术进步的百分之二。增长率随资本积累逐步下降，是边际收益递减在时间上的表现，也是索洛模型对「投资驱动型增长终将放缓」的解释。

在稳态附近，可以把动态方程作一阶近似，得到一个简明的结果：$k$ 与稳态的差距大致按固定比例缩小，

$$\dot k\approx-\lambda\,(k-k^*),\qquad \lambda=(1-\alpha)(\delta+n+g)$$

$\lambda$ 称为收敛速度。代入案例参数，$\lambda=\tfrac23\times0.08\approx5.3\%$，即每年缩小剩余差距的百分之五点三左右，差距减半所需时间（半衰期）为 $\ln2/\lambda\approx13$ 年。上表中缺口从百分之百降到一半用了约十五年，比线性近似稍慢，因为起点离稳态较远。

这个理论速度与实证结果有出入。巴罗（Robert Barro）与萨拉—伊—马丁（Xavier Sala-i-Martin）用美国各州、日本各县和多国数据估计，条件收敛的速度大约每年百分之二，半衰期约三十五年。曼昆、罗默与韦尔（Mankiw, Romer and Weil，1992）的解释是把人力资本加进模型，资本的广义份额从三分之一升到三分之二左右，$\lambda=(1-\alpha-\beta)(\delta+n+g)$ 就会降到百分之三以下，与数据大体相符。人力资本的扩展是第二课的内容。

十、稳态中的增长

经济到达稳态，每单位有效劳动的资本和产出不再变化，这并不意味着经济停止增长。由 $Y=y\cdot AL$ 可知，$y$ 不变时，总产出随 $A$ 与 $L$ 一起增长；由 $Y/L=y\cdot A$ 可知，人均产出随 $A$ 增长。

经济变量	稳态增长率
每单位有效劳动的资本 $k=K/(AL)$	0
每单位有效劳动的产出 $y=Y/(AL)$	0
人均资本 $K/L$	$g$
人均产出 $Y/L$	$g$
总资本 $K$	$n+g$
总产出 $Y$	$n+g$
实际工资 $w$	$g$
资本收益率 $r$	0（保持不变）

在案例中，长期人均产出增长率为百分之二，总产出增长率为百分之三。实际工资也以百分之二增长，因为在竞争市场中 $w=(1-\alpha)Y/L$，与人均产出同步；资本收益率不变，因为资本产出比不变。这一组结果称为平衡增长路径（balanced growth path），与卡尔多事实逐条对应。

由此得出索洛模型最著名的判断。资本积累能够影响长期收入的水平，却不能单独决定长期人均收入的增长率；持续的人均收入增长需要技术进步。在模型里，长期人均增长率等于 $g$，与储蓄率无关。

十一、提高储蓄率会发生什么

这一节用案例做一次「政策实验」。假设经济原本处在 $s=24\%$ 的稳态，从某一年起储蓄率永久提高到百分之三十。新的稳态资本为 $(0.30/0.08)^{1.5}\approx7.26$，稳态产出 $\sqrt{3.75}\approx1.94$，比原来高约百分之十二。

年份	资本 $k$	产出 $y$	消费 $c$	产出额外增长率
改变前	5.20	1.732	1.316	0
0	5.20	1.732	1.212	0.67%
5	5.66	1.782	1.247	0.48%
10	6.02	1.819	1.274	0.35%
20	6.53	1.869	1.308	0.20%
40	7.01	1.913	1.339	0.06%
新稳态	7.26	1.936	1.356	0

储蓄率提高的当年，资本还来不及变化，产出不变，消费从1.316立即降到1.212。此后资本逐年积累，人均产出的增长率暂时高出技术进步率，第一年约高0.67个百分点，随后逐年减小，四十年后几乎消失。经济最终回到百分之二的人均增长，只是停在一条更高的路径上。储蓄率的变化带来的是水平效应（level effect），技术进步率的变化才有增长效应（growth effect），这是索洛模型最常被引用的区分。

图1中横轴为改变储蓄率后的年份，负数年份表示改变之前，虚线为改变前的水平。产出平滑地爬升，消费在改变当年下跌，此后随资本积累回升。曲线按连续时间方程逐步推算，是模型单位，不对应任何国家的统计数据。

消费在这次实验中先降后升，要过约二十三年才回到原来的水平，最终比原来高约百分之三。这说明「提高储蓄率是否值得」不能只看新稳态，还要看过渡期间几代人的得失。

储蓄率的作用还可以用弹性来度量。由 $y^*$ 的表达式，$\ln y^*=\frac{\alpha}{1-\alpha}\ln s+\text{常数}$，稳态产出对储蓄率的弹性为 $\alpha/(1-\alpha)$，在 $\alpha=1/3$ 时为0.5。储蓄率翻一番，长期收入只提高约百分之四十一（$2^{0.5}\approx1.41$）。世界上最富与最穷国家的人均收入相差三四十倍，若完全归因于储蓄率，储蓄率需要相差近千倍乃至上千倍，这显然不成立。曼昆、罗默与韦尔据此认为，只有物质资本的索洛模型解释不了国家间的收入差距，必须考虑人力资本与技术水平的差别。

十二、黄金律

既然提高储蓄率能提高长期资本和产出，为什么不把收入尽可能多地储蓄起来？原因在于经济活动的最终目的是消费。埃德蒙·费尔普斯（Edmund Phelps）在1961年把这个问题表述为资本积累的黄金律（golden rule of capital accumulation），即在所有可能的稳态中，选择使稳态消费最大的那一个。

稳态消费等于产出减去维持性投资：

$$c^*=f(k^*)-(\delta+n+g)k^*$$

对 $k^*$ 求导并令导数为零：

$$\frac{dc^*}{dk^*}=f'(k^*)-(\delta+n+g)=0\quad\Longrightarrow\quad \text{MPK}=f'(k_{GR})=\delta+n+g$$

这个条件的经济含义是，多一单位资本带来的边际产出，恰好等于维持这一单位资本所需的投资。资本少于这个水平时，多积累一单位资本带来的产出大于维持它的成本，消费可以增加；资本多于这个水平时，多出来的资本所产生的产出还不够维持它自己，消费反而减少。扣除折旧后，黄金律条件也可以写成 $r=n+g$，即实际利率等于经济的总增长率。

在柯布—道格拉斯情形下，$f'(k)=\alpha k^{\alpha-1}$；稳态条件又给出 $s=(\delta+n+g)k^{1-\alpha}$。两式联立得到

$$s_{GR}=\alpha$$

黄金律储蓄率等于资本产出弹性。在竞争市场中这个结论有一个直观的读法，即把资本所得全部用于投资、劳动所得全部用于消费，经济恰好处在黄金律上。案例中 $\alpha=1/3$，黄金律储蓄率约为百分之三十三点三，对应 $k_{GR}=(1/3\div0.08)^{1.5}\approx8.51$，此时资本边际产出正好等于0.08。

储蓄率 $s$	稳态资本 $k^*$	稳态产出 $y^*$	稳态消费 $c^*$
12%	1.84	1.225	1.078
20%	3.95	1.581	1.265
24%	5.20	1.732	1.316
30%	7.26	1.936	1.356
33.3%	8.51	2.041	1.361
40%	11.18	2.236	1.342
50%	15.63	2.500	1.250

图2把上表画成一条连续曲线。储蓄过少，未来的生产能力不足；储蓄过多，消费份额受到挤压。

表中稳态消费先升后降，在储蓄率百分之三十三点三处达到最大。储蓄率为百分之五十时产出最高，消费却低于储蓄率百分之二十四时的水平。可以把这条曲线记成一座山，黄金律在山顶。

山顶两侧的含义不对称。储蓄率高于黄金律时，经济处于动态无效率（dynamic inefficiency）状态，此时降低储蓄率，当年消费立即增加，而且在过渡期和新稳态中的每一年消费都更高，没有任何一代人受损，这是一个确定的改进。储蓄率低于黄金律时情况不同，提高储蓄率要求当代人先减少消费，第十一节的实验已经显示这个过程要持续二十多年，是否值得取决于怎样权衡不同世代的福利。所以黄金律给出的是一条上限，即「储蓄过多」可以判断，「储蓄过少」需要另外的价值判断。

现实中的经济是否储蓄过多？阿贝尔、曼昆、萨默斯与泽克豪泽（Abel, Mankiw, Summers and Zeckhauser，1989）提出一个检验方法，即比较企业资本每年产生的利润与当年的投资，若利润持续大于投资，资本就没有超过黄金律。他们对美国和其他六个发达经济体的检验都发现利润大于投资，说明这些经济体处在动态有效率的一侧。黄金律提醒的是资本积累的基本约束，投资应当服务于未来的消费，本身并不是目的；它也不要求政府把储蓄率设定在某个具体数值。

十三、增长核算与索洛余值

索洛在1957年又发表了一篇论文《技术变化与总量生产函数》，这篇文章把增长模型变成了一种测量工具。思路是把产出增长分解成三部分，即资本增长的贡献、劳动增长的贡献，以及两者都解释不了的剩余部分。为与前文的劳动增进型技术 $A$ 区分，增长核算通常把生产函数写成

$$Y=ZK^\alpha L^{1-\alpha}$$

其中 $Z$ 称为全要素生产率（total factor productivity，TFP）。与前文的写法比较，$Z=A^{1-\alpha}$，所以全要素生产率的增长率等于 $(1-\alpha)g$。在案例中 $g=2\%$，对应的全要素生产率增长约为百分之一点三三，两种说法指的是同一件事，在读文献时需要留意作者用的是哪一种。

对生产函数取对数并对时间求导，得到

$$\frac{\dot Y}{Y}=\frac{\dot Z}{Z}+\alpha\frac{\dot K}{K}+(1-\alpha)\frac{\dot L}{L}$$

移项后就是索洛余值（Solow residual）的计算公式：

$$\frac{\dot Z}{Z}=\frac{\dot Y}{Y}-\alpha\frac{\dot K}{K}-(1-\alpha)\frac{\dot L}{L}$$

举一个例子。某经济体GDP增长百分之六，资本增长百分之八，劳动增长百分之一，资本份额取0.4，那么 $g_Z=6\%-0.4\times8\%-0.6\times1\%=2.2\%$。六个百分点的增长中，资本贡献三点二个百分点，约占百分之五十三；劳动贡献零点六个百分点，约占百分之十；余下二点二个百分点，约占百分之三十七，归于全要素生产率。这组数字是教学示例，不代表任何特定国家或年份。

图3把六个百分点的增长拆成三段，红色一段就是索洛余值。

索洛1957年用这个方法计算美国1909至1949年的数据，得出一个出乎当时预料的结论。这四十年间美国每工时产出大约翻了一番，其中约八分之七（百分之八十七点五）来自技术变化，只有约八分之一来自人均资本的增加。索洛在1987年的诺贝尔奖演讲中回顾过这一结果。读这个数字时要注意三点，它来自特定的历史样本与核算方法，八分之七不是适用于所有国家和时代的固定比例；所谓技术变化是一个宽泛的剩余项，其中并非每一分贡献都来自新发明；后来的研究用更细的方法度量投入，这个比例随之下降。这个结论把增长研究的重心从资本积累转向生产率，后来的增长核算文献虽然通过更细致地度量劳动质量和资本质量缩小了余值，但「生产率是长期增长的主要来源」这一判断一直保留下来。

增长核算在九十年代引出过一场著名的争论。阿尔文·扬（Alwyn Young，1995）计算了中国香港、新加坡、韩国和中国台湾地区1966至1990年的增长，发现在扣除资本积累、劳动参与率上升和教育提高之后，全要素生产率的增长并不突出，新加坡尤其低。保罗·克鲁格曼（Paul Krugman）在1994年的文章《亚洲奇迹的神话》中把这类发现通俗化，认为主要依靠投入扩张的增长终会像索洛模型预言的那样放缓。这场争论的数字至今仍有分歧，但它说明增长核算能把「增长从哪里来」变成一个可以检验的问题。

使用索洛余值时要知道它的局限。余值是用总增长减去可以度量的投入增长后剩下的部分，度量误差都会落进去。资本利用率的波动、劳动质量与资本质量的测量偏差、资源在企业和行业之间配置效率的变化、经济结构从农业转向工业，都会影响这个数。所以经济学家常说余值是「我们无知程度的度量」，把它全部理解为狭义的技术发明并不准确。

十四、对现实的解释与模型的边界

索洛模型为分析现实增长提供了几条清楚的思路。下表把主要的参数变化与长期影响对照列出。

经济变化	模型中的变化	主要长期影响
提高储蓄和投资率	$s$ 上升	提高稳态人均资本与收入水平，过渡期增长加快
资本损耗变慢	$\delta$ 下降	提高稳态资本与收入水平
人口增长放缓	$n$ 下降	其他条件不变时提高每单位有效劳动的稳态资本
技术进步加快	$g$ 上升	提高长期人均收入增长率
技术水平一次性提高	$A$ 上升	给定投入下产出能力提高，收入路径整体上移

表中第四行需要解释。$g$ 提高后，维持性投资 $(\delta+n+g)k$ 变大，稳态 $k^*$ 反而下降；但这里的 $k$ 是每单位有效劳动的资本，劳动效率本身增长得更快了，人均收入的长期增长率由 $g$ 决定，所以技术进步加快在任何意义上都对经济有利。互动图中把技术进步率调高，可以看到 $k^*$ 左移，而这并不代表变穷。

对于投资驱动型的经济，模型的启示是边际收益递减。资本相对短缺的发展初期，修建道路、港口、电力设施和厂房，可以显著提高生产能力；随着资本存量增加，同类投资的边际收益逐渐下降，增长速度随之放缓。第九节的转型路径表已经给出了这一过程的量级，即资本只有稳态四分之一的经济，人均收入增长率可以在头几年达到百分之六，二十年后降到百分之三以下。

韩国的长期发展常被用来讨论后发经济的工业化。二十世纪六十年代以后，韩国由农业为主的经济逐步转向制造业，交通基础设施、教育体系和生产性投资一同扩张。世界银行在回顾韩国的发展时，同时强调资本形成、教育与人力资本、知识积累和技术创新，没有把经济转型只归结为机器数量的增加。用索洛模型观察，这一过程有两个相互联系的方面。早期资本不足时，基础设施和厂房设备的大量投入提高了每个劳动者可用的资本；产业升级以后，工程能力、生产组织、技能、技术引进与自主创新共同提高了劳动生产率。出口市场、制度、产业政策和企业组织同样影响投资与技术扩散，所以索洛模型只为这段历史提供了观察资本积累与生产率的坐标，不能当作韩国经济成功的完整因果解释。

模型也可以帮助思考更小尺度的决策。原有码头拥挤、船舶排队时间长时，增加泊位和自动化设备能明显改善效率；货运需求增长有限时，继续扩建同样的设施，边际收益可能很低，是否值得扩建还要看需求预测、融资成本和区域运输网络。一家制造企业既可以购买更多机器，也可以改进排产软件、工艺流程、设备维护和员工培训，前者扩大可用资本，后者提高同样资本和劳动的产出效率，而新技术往往要有互补投资才能发挥作用。劳动人口增速下降的国家，为新增劳动者配置资本的需要随之减少，但老龄化还会影响储蓄、财政、创新和劳动参与，不能仅凭 $n$ 下降就推断经济会表现更好。这些例子的共同之处在于区分资源投入的数量与投入的生产效率，同样的资金投向哪里、怎样使用、能否与人的技能和市场需求结合，往往比投资额本身更重要。

对于后发国家的追赶，模型给出的是条件收敛（conditional convergence）。如果两个国家有相同的储蓄率、人口增长率、技术进步率和生产函数，只是初始资本不同，资本较少的国家增长更快，两国收入会逐渐接近。条件收敛与绝对收敛的区别在于「条件」二字，各国储蓄、教育、制度与技术水平不同，稳态本来就不同，模型并不预言所有穷国都会自动追上富国。实证研究的结果与此一致，在控制了投资率和人口增长率之后，各国数据中才能看到收敛，不加控制时，穷国并没有系统性地增长更快。

模型的边界同样清楚。储蓄率是外生给定的，家庭不做选择；技术进步也是外生给定的，模型不能回答企业为什么研发、制度怎样影响创新、知识怎样扩散。前一个问题由拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型处理，它让储蓄率由家庭的最优选择决定；后一个问题由保罗·罗默（Paul Romer，1986、1990）和罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）开创的内生增长理论处理。模型中的资本和劳动也都是同质的，现实中资本质量、劳动者的教育与技能、不同产业的投资效率差别很大。此外，索洛模型描述的是长期供给能力，失业、需求不足、金融危机和货币政策的短期影响，需要借助其他宏观经济模型来分析。

另一个与本模型直接相关的问题是国际资本流动。按照边际收益递减，资本稀缺的穷国资本收益应当远高于富国，资本应当大量从富国流向穷国。卢卡斯在1990年的文章《为什么资本不从富国流向穷国？》中算过一笔账，取资本份额0.4，美国人均产出约为印度的十五倍，按柯布—道格拉斯函数推算，印度的资本边际产出应是美国的 $15^{1.5}\approx58$ 倍。现实中的资本流动远没有这么大，这被称为「卢卡斯悖论」。差距的一部分来自人力资本与技术水平的差别，另一部分来自制度、产权保护和主权风险，这是国际金融与发展经济学的一个经典议题。

小结

索洛模型可以归结为五个层次，每一层对应一个核心公式。

层次	关键问题	核心公式
生产	资本和劳动怎样形成产出	$Y=F(K,AL)$，$y=f(k)$
积累	投资怎样改变资本	$\dot K=sY-\delta K$
动态	每单位有效劳动的资本怎样变化	$\dot k=sf(k)-(\delta+n+g)k$
稳态	经济向什么水平收敛、收敛多快	$sf(k^*)=(\delta+n+g)k^*$，$\lambda=(1-\alpha)(\delta+n+g)$
黄金律	多少资本使长期消费最大	$f'(k_{GR})=\delta+n+g$，$s_{GR}=\alpha$

模型的基本结论有三条。第一，投资推动增长，但资本的边际收益递减，所以依靠资本积累的增长会逐渐放缓。第二，储蓄率决定长期收入水平的重要部分，却不能单独支撑持续的人均收入增长。第三，持续提高人均收入依靠技术进步，而经济发展的目的最终是提高消费和生活水平。

1956年的这套模型没有为经济发展提供一张现成的施工图，它留下的是一种至今有用的判断方式。观察增长，既要看投入增加了多少，也要看相同的投入为什么能够创造更多产出。

课后练习

练习一　设 $\alpha=0.3$，$s=0.20$，$\delta=0.04$，$n=0.01$，$g=0.02$，生产函数为 $y=k^{\alpha}$。求稳态的 $k^*$、$y^*$、$c^*$ 和资本产出比。

练习二　沿用练习一的参数，求收敛速度 $\lambda$ 和半衰期。如果把 $\alpha$ 提高到0.6（相当于把人力资本也算进广义资本），半衰期变为多少？

练习三　沿用练习一的参数，求黄金律储蓄率与黄金律资本。该经济体的储蓄是过多还是过少？若把储蓄率调到黄金律水平，当年消费会怎样变化？

练习四　某经济体十年间GDP年均增长百分之五，资本存量年均增长百分之七，就业年均增长百分之零点五，资本份额取三分之一。计算这十年的索洛余值，以及资本、劳动和全要素生产率各自的贡献比例。

练习五　两个国家参数完全相同，只是A国储蓄率为百分之三十，B国为百分之十五，$\alpha=1/3$。稳态时两国每单位有效劳动的产出相差多少倍？若两国实际人均收入相差十倍，其余差距在模型中应归于什么？

练习六　在 $Y=K^\alpha(AL)^{1-\alpha}$ 的设定下，劳动增进型技术 $A$ 每年增长百分之二，资本份额为三分之一。对应的全要素生产率 $Z$ 每年增长多少？

参考答案

练习一　$\delta+n+g=0.07$，$s/(\delta+n+g)=2.857$。$k^*=2.857^{1/0.7}\approx4.48$，$y^*=4.48^{0.3}\approx1.57$，$c^*=0.8\times1.57\approx1.26$，资本产出比 $k^*/y^*=s/(\delta+n+g)\approx2.86$。

练习二　$\lambda=(1-0.3)\times0.07=4.9\%$，半衰期 $\ln2/0.049\approx14$ 年。$\alpha=0.6$ 时 $\lambda=0.4\times0.07=2.8\%$，半衰期约25年，更接近实证估计。

练习三　黄金律储蓄率等于 $\alpha=0.30$，$k_{GR}=(0.30/0.07)^{1/0.7}\approx8.0$。实际储蓄率百分之二十低于黄金律，属于储蓄偏少的一侧，不存在动态无效率。储蓄率提到百分之三十的当年，产出不变，消费从 $0.8y^*$ 降到 $0.7y^*$，下降八分之一，之后随资本积累逐步回升并最终超过原来的水平。

练习四　$g_Z=5\%-\tfrac13\times7\%-\tfrac23\times0.5\%\approx2.33\%$。资本贡献约2.33个百分点，占约百分之四十七；劳动贡献约0.33个百分点，占约百分之七；全要素生产率贡献约2.33个百分点，占约百分之四十七。

练习五　$y^*$ 与 $s^{\alpha/(1-\alpha)}=s^{0.5}$ 成正比，两国相差 $\sqrt2\approx1.41$ 倍。其余约七倍的差距在模型中只能归于技术水平 $A$ 的不同；在曼昆—罗默—韦尔的扩展模型中，一部分还可以归于人力资本。

练习六　由 $Z=A^{1-\alpha}$，$g_Z=(1-\alpha)g=\tfrac23\times2\%\approx1.33\%$。读文献时要分清作者报告的是劳动增进型技术的增长率还是全要素生产率的增长率，两者在这里相差三分之一。

参考文献

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• Romer, D. (2019). Advanced Macroeconomics (5th ed.). New York: McGraw-Hill. 第1章。