贸易引力模型：为什么邻国之间更容易做生意？

2023年，中国对美国出口约4370亿美元，对哈萨克斯坦出口约190亿美元，对土库曼斯坦出口约10亿美元。三个数字相差几百倍，背后最主要的两个因素一眼就能看出来，即对方经济的大小和两国之间的距离。美国的经济规模是哈萨克斯坦的一百多倍，土库曼斯坦的经济规模更小，离中国的经济中心也更远。把各国之间的双边贸易都放在一起看，这条规律反复出现，经济学家借用牛顿万有引力定律的形式来描述它，称为贸易引力模型。

引力方程是国际贸易实证研究中使用最多的工具。区域贸易协定、共同货币、边境、关税和非关税壁垒对贸易的影响，大多用它来估计。本课讨论引力方程从哪里来、怎样正确地估计、估出来的系数应当怎样解读。学完本课，读者应能从无摩擦的基准推导出引力方程的基本形式，能说明多边阻力为什么重要，能区分对数线性回归与PPML两种估计方法并解释它们的结果为什么不同，也能用引力方程判断某一对国家之间的贸易是偏多还是偏少。前置知识只需要对数和线性回归的基本概念。

一、一个经验规律的来历

荷兰经济学家扬·丁伯根（Jan Tinbergen）在1962年出版的《塑造世界经济》（Shaping the World Economy）中，最先系统地用引力方程分析各国的双边贸易，同时期芬兰经济学家佩尔蒂·波约宁（Pentti Pöyhönen）也做了类似的研究。丁伯根后来在1969年与拉格纳·弗里希（Ragnar Frisch）一起获得第一届诺贝尔经济学奖。他写下的方程形式很简单：

$$X_{ij}=G\,\frac{Y_i^{\beta_1}\,Y_j^{\beta_2}}{D_{ij}^{\theta}}$$

$X_{ij}$ 是 $i$ 国对 $j$ 国的出口，$Y_i$、$Y_j$ 是两国的经济规模，$D_{ij}$ 是两国之间的距离，$G$ 是常数。两边取对数，方程变成线性形式，可以直接用普通最小二乘法估计：

$$\ln X_{ij}=\ln G+\beta_1\ln Y_i+\beta_2\ln Y_j-\theta\ln D_{ij}+\varepsilon_{ij}$$

这个方程拟合数据的效果出奇地好，经济规模和距离两个变量通常就能解释双边贸易对数差异的六成以上。但在很长一段时间里，它被看作一条缺乏理论依据的经验规律。当时主流的贸易理论是李嘉图的比较优势与赫克歇尔—俄林的要素禀赋理论（本课程第十六、十七课），它们解释的是一个国家出口什么，没有直接说明一个国家与谁贸易、贸易多少。

为引力方程提供理论基础的工作从1970年代末开始。詹姆斯·安德森（James Anderson）在1979年最先从需求一方推导出引力方程，此后杰弗里·伯格斯特兰德（Jeffrey Bergstrand）、乔纳森·伊顿（Jonathan Eaton）与塞缪尔·科图姆（Samuel Kortum）等人从不同的贸易理论出发，都得到了形式相同的方程。2003年，安德森与埃里克·范温库普（Eric van Wincoop）的论文让「结构引力」成为标准做法。现在可以说，引力方程是几乎所有主流贸易模型共同的推论，它本身不依赖某一种特定的贸易理论。

二、无摩擦的基准

最简单的推导从一个没有任何贸易成本的世界开始。设各国生产的产品各不相同，所有消费者的偏好相同，都按相同的比例在各国的产品之间分配支出，没有运输成本，也没有关税。$i$ 国的产出占世界总产出 $Y$ 的比重为 $Y_i/Y$。偏好相同、没有贸易成本，所以每个国家都把收入的这一比例花在 $i$ 国的产品上，$j$ 国从 $i$ 国的进口为

$$X_{ij}=\frac{Y_i}{Y}\cdot E_j=\frac{Y_i\,E_j}{Y}$$

$E_j$ 是 $j$ 国的总支出，在贸易平衡时等于它的产出 $Y_j$。这就是一个没有距离项的引力方程，两国的贸易与各自的经济规模成正比，系数都等于1。

举一个数字例子。设世界总产出为100万亿美元，某国产出10万亿美元，占世界的10%，另一国总支出为5万亿美元。在无摩擦的世界里，后者从前者进口 $0.1\times5=0.5$ 万亿美元，即5000亿美元。现实中的贸易额通常远低于这个基准，各国花在本国产品上的支出远多于本国产出占世界的份额，这种现象称为本土偏好（home bias）。引力方程中的距离和其他贸易成本，就是用来解释现实与无摩擦基准之间的差距。

三、多边阻力与结构引力

加入贸易成本以后，推导要复杂一些。设 $i$ 国的产品运到 $j$ 国，价格要乘以一个大于1的系数 $t_{ij}$，它包括运费、关税、语言和制度差异带来的成本。消费者对各国产品的需求有一定的替代性，替代弹性为 $\sigma>1$。安德森与范温库普推导出的结构引力方程为

$$X_{ij}=\frac{Y_i\,E_j}{Y}\left(\frac{t_{ij}}{\Pi_i\,P_j}\right)^{1-\sigma}$$

括号里的分子是两国之间的双边贸易成本，分母中的 $\Pi_i$ 和 $P_j$ 称为多边阻力（multilateral resistance）。$P_j$ 是 $j$ 国从世界各地进口的平均成本，$\Pi_i$ 是 $i$ 国向世界各地出口的平均成本。它们由所有国家之间的贸易成本共同决定，满足

$$\Pi_i^{1-\sigma}=\sum_j\left(\frac{t_{ij}}{P_j}\right)^{1-\sigma}\frac{E_j}{Y},\qquad P_j^{1-\sigma}=\sum_i\left(\frac{t_{ij}}{\Pi_i}\right)^{1-\sigma}\frac{Y_i}{Y}$$

这个方程的核心含义是，两国之间的贸易取决于它们之间的贸易成本相对于它们与其他国家的贸易成本。澳大利亚和新西兰相距约两千多公里，与各自其他主要贸易伙伴的距离却远得多。两国的多边阻力都很高，彼此之间的贸易成本相对较低，所以它们之间的贸易比只看两国距离所预测的更多。一个远离所有市场的国家，会更集中地与少数相对较近的伙伴贸易。

多边阻力还解决了一个著名的难题。约翰·麦卡勒姆（John McCallum，1995）用1988年的数据发现，加拿大各省之间的贸易是加拿大省与美国州之间贸易的约22倍，国界的作用似乎大得惊人。安德森与范温库普指出，这个估计忽略了多边阻力，加拿大经济规模小，国界对加拿大的多边阻力影响很大；考虑多边阻力后，国界使发达国家之间的贸易减少的幅度要小得多，大致在两成到五成之间。

多边阻力无法直接观测，实际估计时通常用出口国和进口国的固定效应吸收它，即为每个出口国和每个进口国各设一个虚拟变量。固定效应同时吸收了两国的经济规模，所以在这种设定下，经济规模的系数不再单独估计，回归只识别距离、接壤、共同语言、贸易协定这些双边变量的作用。

四、贸易成本的代理变量

距离是贸易成本最常用的代理变量，它代表运输成本、运输时间，也代表信息和文化上的隔阂。距离的系数 $\theta$ 等于贸易成本对距离的弹性 $\rho$ 乘以替代弹性减一，$\theta=\rho(\sigma-1)$，所以它不能直接读成运费的大小。安妮—塞利娅·迪迪耶（Anne-Célia Disdier）与基思·黑德（Keith Head，2008）汇集了一百多篇论文中的一千多个估计值，距离弹性的平均值约为0.9。他们还发现一个出人意料的现象，二十世纪中叶以后，尽管运输和通信成本大幅下降，估计出的距离效应并没有减弱，在一些样本中反而有所增强。1997年，弗朗西丝·凯恩克罗斯（Frances Cairncross）出版《距离之死》（The Death of Distance），预言通信技术会让地理距离失去意义，数据并没有支持这个预言。常见的解释有几种。运输成本中下降最多的是海运的单位运费，时间成本的重要性却在上升，生鲜产品、时尚商品和生产网络中的零部件都要求按时送达；国际生产网络需要频繁的面对面协调，距离近的工厂之间更容易配合；距离还代表了法律、语言和商业习惯上的差异，这些差异并不随运费下降而消失。

除距离外，常用的变量还有以下几个。两国接壤（contiguity），陆路运输方便，边境贸易活跃。两国有共同的官方语言，交易中的信息成本较低。两国有过殖民关系，往往留下相近的法律制度、商业网络和语言。两国签订了区域贸易协定（regional trade agreement），关税和其他壁垒降低。这些变量都以虚拟变量的形式进入方程，系数 $\gamma$ 的含义是，在其他条件相同时，具有这一特征的国家对之间的贸易高出 $e^{\gamma}-1$。

本课使用的距离是CEPII引力数据集中按人口加权的调和平均距离，它以两国主要城市之间的距离按人口加权计算，比首都之间的直线距离更能代表经济活动之间的实际距离。

五、用2023年的数据估计一遍

下面用CEPII BACI数据库2023年各国之间的双边出口额估计引力方程。经济规模用世界银行世界发展指标中的GDP，双边变量来自CEPII引力数据集。样本包括所有有GDP数据的国家之间的40200个有序国家对，其中28663个有正的出口额，其余约29%的国家对在这一年没有记录到任何贸易。

双边变量	① 对数线性	② 加入双边特征	③ 加入固定效应	④ PPML加固定效应
出口国GDP（对数）	1.33	1.33	—	—
进口国GDP（对数）	0.96	0.96	—	—
距离（对数）	−1.51	−1.19	−1.55	−0.63
接壤		0.86	0.74	0.41
共同官方语言		0.70	0.78	0.06
殖民关系		0.58	0.65	0.57
区域贸易协定		1.18	0.56	0.29
解释力 $R^2$	0.64	0.65	0.76	—
样本	正贸易流	正贸易流	正贸易流	含零贸易流

第①列只放经济规模和距离，三个变量解释了双边出口对数差异的约64%。进口国GDP的系数接近1，与无摩擦基准的预言一致；出口国GDP的系数为1.33，大经济体的出口比按规模预测的更多，部分原因在于大国更可能处在全球生产网络的中心。距离的系数为−1.51，距离增加1%，出口减少约1.5%。

第②列加入四个双边特征，距离的系数降到−1.19，原因是接壤、共同语言和贸易协定都与距离近相关，第①列中距离的系数有一部分代表了它们的作用。第③列加入出口国和进口国的固定效应，吸收多边阻力，距离的系数为−1.55，区域贸易协定的系数从1.18降到0.56。没有固定效应时，签订贸易协定的国家本来就贸易密切，协定的作用被高估了一倍以上。按第③列，签订区域贸易协定使贸易增加约74%，距离翻一番，贸易降到原来的约34%。

六、零贸易流与PPML

对数线性回归有两个问题。第一，零贸易流无法取对数，只能从样本中删掉，而本课的样本中近三成的国家对没有贸易，它们大多是距离远、规模小的国家对，删掉它们会使估计产生偏差。第二，若误差项的方差随贸易规模变化（经济学上称为异方差），对数变换后的回归即使样本完整，估计出的弹性也是有偏的。这一点来自一个数学性质，对数的期望不等于期望的对数。

若昂·桑托斯·席尔瓦（João Santos Silva）与西尔瓦娜·滕雷罗（Silvana Tenreyro，2006）提出用泊松伪最大似然估计（Poisson pseudo-maximum likelihood，PPML）。它直接以贸易额为被解释变量，估计 $X_{ij}=\exp(\cdots)$ 形式的方程，可以保留零贸易流，在异方差下仍然一致。PPML按贸易额加权，大额贸易流对估计的影响更大。现在，PPML加出口国、进口国固定效应已成为估计结构引力方程的标准方法。

上表第④列是PPML的结果，距离的系数降到−0.63，距离翻一番，贸易降到原来的约65%，与第③列的34%相差很大。区域贸易协定的系数为0.29，即贸易增加约34%；接壤的系数为0.41，即贸易增加约50%；共同语言的系数几乎为零。两种方法的差别说明，对数线性回归高估了距离对贸易的作用。在大额贸易中，距离的影响比在小额贸易中小，世界贸易中最大的几条贸易流，如中美、美墨、中日、德法之间的贸易，对PPML的估计影响最大。

PPML还有一个便于检查的性质。加入出口国固定效应以后，每个出口国的拟合出口总额与实际出口总额完全相等。本课的估计中，中国对世界的拟合出口与实际出口同为约3.34万亿美元（BACI按双边申报对碰清洗后的口径）。这样，拟合值与实际值的差异只反映出口在各个伙伴之间的分配，不受总量的影响。

下面的计算器使用上表第③、④两列的系数，可以调节距离和对方的经济规模，比较两种方法的预测。

七、中国的出口：哪些伙伴偏多，哪些偏少

把中国对各国的出口额除以对方的GDP，再与两国距离对照，可以看到一条清楚的向下倾斜的关系。距离越远，中国出口占对方经济的比重越低。

图1中每个点是中国的一个出口目的地，横轴为两国按人口加权的距离（对数刻度），纵轴为中国对该国出口额占该国GDP比重的自然对数，虚线为拟合线，斜率约为−0.52。数据来自CEPII BACI数据库、CEPII引力数据集与世界银行世界发展指标，由本刊计算。

用第④列的PPML估计计算中国对每个伙伴的拟合出口，与实际值比较，结果如下。

图2横轴为对数刻度。拟合值来自上表第④列，即含出口国、进口国固定效应的PPML估计。

几组差异值得解读。对美国的出口与拟合值几乎完全相同。对哈萨克斯坦的出口为186亿美元，与拟合值相同；对塔吉克斯坦、土库曼斯坦的出口也与拟合值相近。对乌兹别克斯坦、吉尔吉斯斯坦的出口分别比拟合值高约六成和三成，吉尔吉斯斯坦长期是中国商品转口中亚其他国家和俄罗斯的集散地，转口贸易使它的进口超出自身经济规模所能支撑的水平。对俄罗斯的出口为1100亿美元，是拟合值的两倍多，这与2022年以后俄罗斯的进口大量转向中国有关。

对德国和荷兰的出口高于拟合值，荷兰是欧洲最大的进口门户之一，从鹿特丹等港口进入的货物有很大一部分再转运到欧洲其他国家，德国处在欧洲生产网络的中心。对日本、韩国的出口则明显低于拟合值，引力方程没有考虑两国产业结构的相似程度和在生产网络中的分工位置，日本、韩国向中国大量出口中间品，中国对它们的出口相对少一些。对越南的出口略低于拟合值。这些差异提醒读者，引力方程给出的是一个参照水平，偏离参照水平的原因要结合转口、生产网络、政治关系等具体情况分析。

使用这些数字时还要注意数据口径。CEPII BACI数据库对每笔双边贸易，比较出口国与进口国两方的申报，按申报质量加权调和，得到一个统一的数值。中亚国家的进口申报中漏报较多，BACI的数字与中国海关公布的出口数字相差很大，中国海关统计的对吉尔吉斯斯坦出口要高出数倍。研究中国与中亚贸易的具体规模时，应以各国海关的原始统计为准，BACI更适合用来做跨国的比较和回归。

八、从系数到贸易成本

引力方程估出的系数是贸易量对各种特征的反应，要换算成贸易成本，还需要替代弹性 $\sigma$。由结构引力方程，$X_{ij}\propto t_{ij}^{1-\sigma}$。设贸易成本与距离的关系为 $t_{ij}=D_{ij}^{\rho}$，则距离的系数 $\theta=\rho(\sigma-1)$；设签订贸易协定使贸易成本乘以 $e^{-\tau}$，则协定虚拟变量的系数 $\gamma=\tau(\sigma-1)$。反过来，

$$\rho=\frac{\theta}{\sigma-1},\qquad \tau=\frac{\gamma}{\sigma-1}$$

文献中贸易弹性 $\sigma-1$ 的常用取值在4到5之间。取 $\sigma=5$，用本课PPML的估计，$\rho=0.626/4\approx0.16$，距离翻一番，贸易成本上升约 $2^{0.16}-1\approx11.5\%$，相当于征收一项约11.5%的从价关税。区域贸易协定的系数0.293对应 $\tau\approx0.073$，协定使贸易成本下降约7.6%，与在零关税之外再削减一层非关税壁垒的量级相当。这样换算以后，距离和协定的作用就可以与关税直接比较。

用同一组系数可以做一个完整的数字推演。2023年中国对哈萨克斯坦的出口为186亿美元，与PPML拟合值一致。若两国签订一项效果与样本平均水平相同的区域贸易协定，其他条件不变，出口预计增加到 $18.6\times e^{0.293}\approx249$ 亿美元。若新的铁路和口岸使两国之间的有效距离缩短20%，出口预计增加到 $18.6\times0.8^{-0.626}\approx214$ 亿美元。这类推演只给出局部的量级，它没有考虑多边阻力的变化，哈萨克斯坦与中国的贸易成本下降以后，它与其他国家之间的贸易也会受影响；完整的反事实分析需要重新求解所有国家的多边阻力。

九、引力方程在政策分析中的用途

结构引力方程是贸易政策评估的主要工具。估计一项区域贸易协定的效果，就是在引力方程中加入协定的虚拟变量，并用固定效应控制其他因素；估计一个国家边境效率的改进、一条新铁路的开通、汇率波动或制裁的影响，做法相同。世界贸易组织与联合国贸易和发展会议2016年联合出版的《贸易政策分析高级指南：结构引力模型》（An Advanced Guide to Trade Policy Analysis: The Structural Gravity Model）系统介绍了这些方法。

引力方程还常被用来估计「贸易潜力」，即用拟合值作为一对国家「正常」的贸易水平，实际值低于拟合值的国家对被认为还有增长空间。这种用法需要谨慎。拟合值只反映方程中包含的变量，实际值偏低可能来自方程没有包含的合理原因，例如两国产业结构相近、互补性弱，或一方的统计漏报；用不同的估计方法，拟合值也可能相差很大，本课的OLS与PPML就是例子。

估计时有几个常见的注意事项。第一，贸易协定的签订与贸易本身相互影响，贸易密切的国家更倾向于签订协定，最好用面板数据，加入国家对固定效应，比较同一对国家在协定生效前后的变化。第二，协定的作用往往要若干年才完全显现，需要加入滞后项。第三，评估一项政策对福利的影响，还要考虑多边阻力的变化，例如一项协定会把贸易从未签约的国家转移到签约国家，即所谓贸易转移。

十、常见误解

引力方程常被误读，有三种误解较为普遍。第一种认为距离的系数就是运费的弹性。距离代表的是全部与地理隔阂有关的成本，包括时间、信息、文化和制度上的差异，而且系数还乘上了贸易弹性，只有换算之后才是贸易成本，运费只是其中一部分。

第二种认为两国之间的贸易低于拟合值，就说明有同样数额的「潜力」可以挖掘。拟合值是平均意义上的参照，方程之外的合理原因、统计口径与估计方法都会造成偏离，第九节已说明这种用法要谨慎。

第三种认为引力方程只适用于国家之间的货物贸易。实际上它在一国之内的地区之间、服务贸易、跨国投资、移民和跨国电话通话量中都表现出相似的规律，只是距离的作用大小不同。各种流量都服从引力规律，说明经济规模与地理和制度的隔阂是决定一切经济往来的基本力量。

十一、模型的边界

引力方程描述的是贸易流的规模，它不解释一个国家出口哪些产品，也不直接说明贸易给各国带来多少福利。同一套引力方程可以从比较优势模型、垄断竞争模型或异质企业模型中推出，所以它本身不能用来判断哪一种贸易理论是对的；要计算贸易的福利收益，还需要知道贸易弹性等参数。

距离也只是贸易成本的一个粗略代理。海运与陆运、内陆国与沿海国、通关效率、物流网络和数字服务贸易，各自受距离影响的方式不同。服务贸易和数字产品的贸易成本与地理距离的关系较弱，用同一个距离弹性去估计它们并不合适。最后，引力方程中的多边阻力依赖于模型设定，替代弹性等结构参数的取值会影响反事实分析的结论。

小结

概念	含义	核心公式或结论
基本引力方程	贸易与规模成正比、与距离成反比	$\ln X_{ij}=\ln G+\beta_1\ln Y_i+\beta_2\ln Y_j-\theta\ln D_{ij}$
无摩擦基准	没有贸易成本时的贸易	$X_{ij}=Y_iE_j/Y$
多边阻力	相对于其他伙伴的贸易成本	$X_{ij}\propto(t_{ij}/\Pi_iP_j)^{1-\sigma}$，用固定效应吸收
距离弹性	距离增加1%贸易减少的百分比	文献平均约0.9；本课OLS约1.55，PPML约0.63
PPML	保留零贸易流、按贸易额加权	结构引力方程的标准估计方法
区域贸易协定	虚拟变量的系数 $\gamma$	贸易增加 $e^{\gamma}-1$，本课PPML约34%

本课的结论有三条。第一，双边贸易与经济规模成正比，与距离等贸易成本成反比，这一规律可以从多种贸易理论推出。第二，两国之间的贸易取决于它们之间的贸易成本相对于各自与其他国家的贸易成本，估计时必须用固定效应控制多边阻力。第三，估计方法会显著改变结论，保留零贸易流的PPML得到的距离效应比对数线性回归小得多，用引力方程判断某一对国家的贸易是否偏离常态，要先确定估计方法与数据口径。

课后练习

练习一　距离弹性为0.9。两国之间的距离增加一倍，其他条件不变，贸易额变为原来的多少？

练习二　世界总产出为100万亿美元。甲国产出8万亿美元，乙国总支出3万亿美元。在无摩擦的世界里，乙国从甲国进口多少？

练习三　按本课第③列与第④列的估计，签订区域贸易协定分别使贸易增加多少？为什么第②列的系数比两者都大得多？

练习四　对数线性回归为什么不能使用零贸易流？删掉零贸易流会使估计产生什么偏差？

练习五　澳大利亚与新西兰之间的贸易，比只考虑两国规模和距离的引力方程所预测的更多。用多边阻力的概念解释这个现象。

参考答案

练习一　$2^{-0.9}\approx0.54$，贸易额降到原来的约54%，即减少约46%。

练习二　$X=(8/100)\times3=0.24$ 万亿美元，即2400亿美元。

练习三　第③列系数为0.56，$e^{0.56}-1\approx74\%$；第④列系数为0.29，$e^{0.29}-1\approx34\%$。第②列没有固定效应，签订协定的国家往往本来就贸易密切、彼此距离近、规模相当，协定的虚拟变量吸收了这些未被控制的因素，因此被高估。

练习四　零的对数没有定义，零贸易流只能删除。零贸易流多出现在距离远、规模小的国家对之间，删除它们后，剩下的远距离国家对都是「虽然远但仍有贸易」的特殊样本，距离的负作用被低估或扭曲；同时，在异方差下对数线性回归本身也有偏。

练习五　两国离世界其他主要市场都很远，与其他国家的平均贸易成本高，多边阻力大。两国之间的贸易成本相对于它们与其他国家的贸易成本较低，按结构引力方程，相对贸易成本低的国家对贸易更多，所以两国之间的贸易高于只看双边距离的预测。

数据说明

双边出口为CEPII BACI数据库2023年按国家对加总的出口额（美元），BACI以联合国商品贸易统计为基础，对出口国与进口国的申报进行调和。GDP为世界银行世界发展指标2023年按现价美元计算的数值。距离、接壤、共同官方语言、殖民关系与区域贸易协定来自CEPII引力数据集，区域贸易协定取该数据集最新可得年份2021年的记录。样本包括有GDP数据的全部国家对，台湾地区等世界发展指标中没有GDP数据的经济体不在样本中。第①至③列为普通最小二乘估计，第④列为含出口国、进口国固定效应的泊松伪最大似然估计。回归由本刊计算。

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