人力资本与收敛：穷国为什么不一定追上富国？

1990年，按购买力平价计算，中国的人均GDP不到美国的二十分之一，印度约为二十七分之一，尼日利亚和埃塞俄比亚更低。此后三十年，中国人均实际收入年均增长约百分之八，越南约百分之六，印度约百分之四点四；同一时期，尼日利亚年均只增长约百分之一点五，墨西哥不到百分之一。起点同样贫穷的国家，有的迅速追赶，有的原地踏步，富国与穷国之间的差距在整体上并没有明显缩小。

第一课的索洛模型给出过一个清楚的预言。资本的边际收益递减，资本稀缺的经济每一单位投资带来的产出更多，所以穷国应当增长得更快，逐步接近富国。本课讨论这个预言在数据中是否成立。学完本课，读者应能区分绝对收敛、条件收敛与σ收敛，能从索洛模型推出收敛回归方程并由估计系数换算收敛速度，能写出曼昆—罗默—韦尔模型的稳态并解释人力资本为什么使储蓄的作用变大、收敛变慢，也能说明卢卡斯悖论的几种解释。前置知识是第一课的稳态与收敛速度。

一、两种「追上」

讨论收敛之前，要先分清两种说法。绝对收敛（absolute convergence，也称无条件收敛）指穷国无条件地比富国增长更快，最终所有国家的人均收入趋于相同。条件收敛（conditional convergence）指每个经济体向自己的稳态收敛，离自己稳态越远增长越快；各国的储蓄率、人口增长、教育和技术不同，稳态也就不同，穷国只有在这些条件与富国相近时才会追上富国。

索洛模型本身预言的是条件收敛。第一课第七节的稳态由储蓄率、折旧率、人口增长率和技术进步率共同决定，两个经济体只有在这些参数都相同时才有相同的稳态，此时条件收敛与绝对收敛才合而为一。所以「穷国没有追上富国」本身并不否定索洛模型，要检验的是控制了稳态的决定因素之后，起点较低的经济体是否增长更快。

这两种说法在学术史上有过一次著名的交锋。威廉·鲍莫尔（William Baumol）在1986年用安格斯·麦迪森（Angus Maddison）整理的长期数据，考察十六个工业化国家1870至1979年的增长，发现1870年越穷的国家此后增长越快，两者几乎排成一条直线。两年后，布拉德福德·德隆（J. Bradford De Long）指出这个样本有选择偏差。这十六个国家是按「今天已经富裕」挑出来的，凡是没能追上的国家自然不在样本里。德隆把1870年同样富裕、后来落后的国家补进样本，收敛关系基本消失。这次交锋留下一条方法上的教训，检验收敛必须用事先确定的样本，不能用事后的赢家。

二、从索洛模型推出收敛方程

收敛回归的方程可以直接从第一课的结论推出。第一课第九节给出，在稳态附近，每单位有效劳动的资本与稳态的差距按速度 $\lambda=(1-\alpha)(\delta+n+g)$ 缩小。产出 $y=k^\alpha$ 取对数后与 $\ln k$ 成比例，所以产出的对数差距也按同一速度缩小：

$$\ln y(t)-\ln y^*=e^{-\lambda t}\,\big(\ln y(0)-\ln y^*\big)$$

两边同减 $\ln y(0)$，再除以时段长度 $T$，得到 $T$ 年间每单位有效劳动产出的年均增长率：

$$\frac{1}{T}\ln\frac{y(T)}{y(0)}=\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}\,\big(\ln y^*-\ln y(0)\big)$$

人均产出等于 $A\cdot y$，人均增长率还要加上技术进步率 $g$。把稳态 $\ln y^*$ 用第一课的公式展开，就得到可以用各国数据估计的回归方程：

$$\bar g_i=a-b\,\ln y_{i,0}+b\,\frac{\alpha}{1-\alpha}\Big[\ln s_i-\ln(n_i+g+\delta)\Big]+\varepsilon_i,\qquad b=\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}$$

其中 $\bar g_i$ 是第 $i$ 个经济体在 $T$ 年间的人均年均增长率，$y_{i,0}$ 是期初人均收入。回归中初始收入的系数为 $-b$，这个系数称为 β 系数，$b>0$ 就是 β收敛。只放初始收入一个变量做回归，检验的是绝对收敛；加入储蓄率、人口增长等决定稳态的变量，检验的是条件收敛。

由估计出的 $b$ 可以反推收敛速度。由 $b=(1-e^{-\lambda T})/T$ 得

$$\lambda=-\frac{\ln(1-bT)}{T}$$

例如在30年的样本中估计出 $b=0.01$，则 $e^{-30\lambda}=0.7$，$\lambda=-\ln0.7/30\approx1.2\%$。要注意 $b$ 与 $\lambda$ 不是同一个数，时段越长，二者差得越多。

另一个常用的概念是σ收敛（σ-convergence），指各国人均收入对数的离散程度（标准差 σ）随时间缩小。β收敛是σ收敛的必要条件，但不是充分条件。各国每年还会受到战争、危机、政策变动等新的冲击，即使穷国平均增长更快，这些冲击也会不断把各国重新拉开，所以 β收敛与σ不变甚至扩大可以同时出现。这一点在下一节的数据中就能看到。

三、看数据：1960年以来的世界

下面用佩恩世界表（Penn World Table）11.0 检验。人均收入按购买力平价计算的实际GDP除以人口，增长率用不变价国民账户GDP计算；投资率取各年投资占GDP比重的平均值，人力资本取该表按受教育年限构造的人力资本指数。样本为期初人口在一百万以上、投资率数据基本完整的经济体。回归由本刊计算。

样本	经济体数	绝对收敛 β 系数	解释力 $R^2$	条件收敛 β 系数	隐含收敛速度
1960—2019	91	−0.0011（不显著）	0.005	−0.0142	约3.1%
1990—2019	143	−0.0032	0.05	−0.0116	约1.4%

条件收敛一列的回归控制了投资率、人口增长率加0.05（代表 $g+\delta$）以及期初人力资本指数，三个控制变量都取对数。除注明「不显著」者外，表中系数都在百分之一的水平上显著。

先看1960至2019年。只用初始收入做回归，β 系数接近零且不显著，初始收入几乎解释不了此后六十年的增长差异，$R^2$ 只有0.005，这一时期没有绝对收敛。加入稳态的决定因素以后，β 系数变成−0.0142，统计上非常显著，隐含的收敛速度约每年百分之三。这正是条件收敛，控制了储蓄、人口增长和教育的差别之后，起点越低的国家增长越快。同一时期各国人均收入对数的标准差从0.95扩大到1.34，世界的收入差距整体上拉大了，β收敛与σ发散同时存在。

再看1990至2019年。绝对收敛的系数变为−0.0032，虽然很小，但统计上显著。143个经济体中，有82个的人均增长快于美国（年均约百分之一点五）；1990年人均收入不到美国十分之一的61个经济体中，有39个增长快于美国。帕特尔、桑德福和苏布拉马尼安（Patel, Sandefur and Subramanian，2021）也发现，大约从1990年代中期开始，世界出现了微弱的绝对收敛，他们称之为「无条件收敛的新时代」。但这一时期标准差从1.19变为1.23，差距没有缩小；拟合线的斜率意味着，起点低一个对数单位（约为2.7倍），年均增长只快三分之一个百分点，以这个速度追赶要用上百年。

图1中每个点是一个经济体，横轴为1990年按购买力平价计算的人均GDP（对数刻度），纵轴为1990至2019年人均实际GDP的年均增长率，虚线为拟合线。数据来自佩恩世界表11.0，由本刊计算。

图中的点散布得很开。中国、越南从左下方的低收入起点出发，以远高于拟合线的速度增长；尼日利亚、埃塞俄比亚起点相近，增长率差别很大；巴西、墨西哥等不少中等收入国家落在拟合线以下，三十年间几乎没有缩小与美国的差距。收入水平本身只解释了增长差异的极小部分，其余要到决定稳态的因素中去找。

四、只有物质资本够不够

条件收敛支持索洛模型的方向，但模型能否解释收入差距的大小是另一个问题。第一课第十一节已经算过，在 $\alpha=1/3$ 时稳态收入对储蓄率的弹性只有0.5，储蓄率翻一番，长期收入只提高约百分之四十一。若要解释各国几十倍的收入差距，储蓄率要相差近千倍。

曼昆、罗默与韦尔（N. Gregory Mankiw, David Romer and David Weil，1992）把这个问题变成了一个回归。由第一课的稳态公式，人均收入的对数可以写成

$$\ln\frac{Y}{L}=\ln A(0)+gt+\frac{\alpha}{1-\alpha}\ln s-\frac{\alpha}{1-\alpha}\ln(n+g+\delta)$$

如果各国的技术水平 $A(0)$ 差别是随机的、与储蓄和人口增长无关，就可以用各国的收入水平对 $\ln s$ 和 $\ln(n+g+\delta)$ 做回归。模型给出两个可以检验的预言，即两个系数大小相等、符号相反，并且等于 $\alpha/(1-\alpha)$。资本份额约三分之一时，这个系数应当在0.5左右。

他们用98个非产油国1985年的数据估计，储蓄率的系数为1.42，人口增长项为−1.97，符号与模型一致，回归解释了收入差异的约百分之五十九。问题出在系数的大小上。由1.42反推，资本份额约为0.6，远高于国民账户中约三分之一的资本份额。也就是说，储蓄率和人口增长对收入的影响比只有物质资本的索洛模型所预言的大得多。

用佩恩世界表2019年的数据（134个经济体，投资率取1990至2019年的平均值）重做这个回归，结果相近。投资率的系数为2.09，人口增长项为−2.38，$R^2$ 为0.53，反推的资本份额约为0.68。三十多年过去，换了一套数据，结论没有改变。

五、加入人力资本：曼昆—罗默—韦尔模型

曼昆、罗默与韦尔的解释是，劳动者的教育和技能也是一种资本，需要用放弃的产出去积累，它和机器一样有折旧，也和机器一样边际收益递减。把它写进生产函数：

$$Y=K^\alpha H^\beta (AL)^{1-\alpha-\beta},\qquad \alpha+\beta<1$$

$H$ 是人力资本存量，$\beta$ 是它的产出弹性。三种投入的指数之和为一，规模报酬仍然不变；$\alpha+\beta<1$ 保证两种资本合起来仍然边际收益递减，否则就不存在稳态。用每单位有效劳动表示，$y=k^\alpha h^\beta$，其中 $h=H/(AL)$。

经济把产出的 $s_k$ 部分投资于物质资本，$s_h$ 部分投资于人力资本，两种资本按同一速度折旧。仿照第一课的推导，两条运动方程为

$$\dot k=s_k\,y-(n+g+\delta)k,\qquad \dot h=s_h\,y-(n+g+\delta)h$$

令两式都等于零，可以解出稳态：

$$k^*=\left(\frac{s_k^{1-\beta}s_h^{\beta}}{n+g+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha-\beta}},\qquad h^*=\left(\frac{s_k^{\alpha}s_h^{1-\alpha}}{n+g+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha-\beta}}$$

代入生产函数并取对数，人均收入的稳态为

$$\ln\frac{Y}{L}=\ln A(0)+gt+\frac{\alpha}{1-\alpha-\beta}\ln s_k+\frac{\beta}{1-\alpha-\beta}\ln s_h-\frac{\alpha+\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(n+g+\delta)$$

取 $\alpha=\beta=1/3$，三个系数依次为1、1和−2。与只有物质资本的模型相比，稳态收入对储蓄率的弹性从0.5提高到1。原因在于两种资本相互加强，储蓄率提高使物质资本增加，产出随之增加，用于教育的投入也跟着增加，人力资本增加又进一步提高产出。人口增长项的系数也从−0.5变成−2，人口增长快的经济需要给更多的新劳动者同时配备机器和教育。

用一组数字可以看出这个模型的分量。设 $n+g+\delta=0.08$。甲国物质资本投资率24%、人力资本投资率12%，稳态为 $k^*=13.5$，$h^*=6.75$，$y^*=4.5$。乙国两项投资率分别只有甲国的一半和三分之一，即12%和4%，稳态为 $k^*\approx1.13$，$h^*=0.375$，$y^*=0.75$。两国稳态收入相差六倍；在只有物质资本的索洛模型中，同样的储蓄率差别只带来约1.4倍的收入差距。再加上技术水平的差别，几十倍的收入差距就不再难以解释。

人力资本也改变了收敛速度。仿照第一课的线性近似，这个模型的收敛速度为

$$\lambda=(1-\alpha-\beta)(n+g+\delta)$$

取 $\alpha=\beta=1/3$、$n+g+\delta=0.08$，$\lambda$ 约为2.7%，半衰期约26年，比只有物质资本时的13年慢一倍。广义资本的份额越大，边际收益递减得越慢，经济走到稳态的时间就越长。第一课第九节提到实证估计的收敛速度约每年百分之二，加入人力资本后，理论值与实证值大体相符。

六、再看数据

曼昆、罗默与韦尔用适龄人口中的中学入学率代表人力资本投资率 $s_h$，把它加进收入水平回归。三个系数分别为0.69、0.66和−1.73，与模型预言的「两种投资率系数相近、人口增长项约为其两倍」基本一致，由系数反推的物质资本份额约0.31、人力资本份额约0.28，回归的解释力从百分之五十九提高到百分之七十八。他们由此认为，加入人力资本的索洛模型可以解释各国收入差异的大部分。

用佩恩世界表2019年数据重做时，人力资本改用该表的人力资本指数。这个指数按平均受教育年限和各级教育的回报率构造，是一个存量指标，与模型中的投资率 $s_h$ 口径不同，所以系数只能看方向和解释力，不宜直接反推份额。

收入水平回归（2019年，134个经济体）	只有物质资本	加入人力资本
投资率的系数	2.09	1.29
人口增长项的系数	−2.38	−0.27（不显著）
人力资本指数的系数	—	2.70
解释力 $R^2$	0.53	0.73

加入人力资本以后，解释力从0.53提高到0.73，与曼昆—罗默—韦尔的结果几乎相同；投资率的系数明显下降，说明只有物质资本的回归中，投资率的系数有一部分实际上是教育的作用。人力资本指数的系数达到2.7，比模型所能解释的大得多。受教育程度高的国家往往制度更完善、技术更先进，教育变量很可能同时代表了技术水平 $A$ 的差别，这正是下一节要讨论的问题。

七、互动图：两个经济体的追赶

下面的模拟设定甲国处在稳态，乙国起步收入只有甲国的一部分。可以调节乙国的起点、储蓄率和人力资本投资率，并在只有物质资本的索洛模型与加入人力资本的模型之间切换。

几组设定值得试一试。两国参数相同时，无论乙国起点多低，最终都追上甲国，这是绝对收敛；把乙国的储蓄率和人力资本投资率调低，乙国只收敛到更低的稳态，起点越低前期增长越快，但差距长期存在，这是条件收敛。切换到加入人力资本的模型，同样的投资率差别带来大得多的长期差距，追赶的速度也慢了一半。

八、要素之外：发展核算

曼昆—罗默—韦尔的回归假定技术水平 $A$ 在各国之间是随机的、与投资率无关。这个假定很难成立，制度好、技术先进的国家通常储蓄和教育也多。另一种做法不依赖回归，直接用生产函数把收入差距拆开，称为发展核算（development accounting）。

罗伯特·霍尔与查尔斯·琼斯（Robert Hall and Charles Jones，1999）把生产函数写成 $Y=K^\alpha(AhL)^{1-\alpha}$，其中 $h$ 按受教育年限和教育回报率计算，于是每个劳动者的产出可以分解为

$$\frac{Y}{L}=\left(\frac{K}{Y}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\cdot h\cdot A$$

三项依次是资本密集程度、人力资本和生产率。他们用1988年的数据计算，最富裕的五个国家每个劳动者的产出是最贫穷五个国家的约31.7倍，其中资本密集程度贡献约1.8倍，人力资本贡献约2.2倍，余下约8.3倍来自生产率。后来的研究方法不断改进，数字有所不同，但结论大体一致，即物质资本和人力资本只能解释各国收入差距的一部分，生产率差别至少占一半。

这个结论把问题推回技术本身。如果各国收入差距主要来自生产率，就要回答生产率由什么决定、知识怎样产生和扩散，这是第三课罗默模型讨论的内容。

九、资本为什么不流向穷国

条件收敛还关系到一个国际金融问题。第一课第十四节介绍过卢卡斯（Robert Lucas，1990）的计算，取资本份额0.4，美国人均产出约为印度的十五倍，印度的资本边际产出应当是美国的约58倍，资本理应大量从富国流向穷国，现实却并非如此。

人力资本是卢卡斯本人给出的第一个解释。印度与美国的差距有相当一部分在于劳动者的技能，按每个有效劳动者计算，两国的差距要小得多。卢卡斯据此调整后，资本收益之比从58倍降到约五倍；如果再考虑人力资本的外部性，即一个人的技能也提高周围人的生产率，这个差距几乎消失。可以用一个简单的算式体会，若经人力资本调整后两国的有效收入只差三倍，资本边际产出之比就只有 $3^{1.5}\approx5.2$ 倍。

此后的研究又补充了几种解释。卡塞利与费雷尔（Francesco Caselli and James Feyrer，2007）指出，穷国的国民收入中有很大一部分是土地和自然资源的报酬，资本品价格又相对较高，扣除这两项后，富国与穷国的资本边际产出已相差不大。阿尔法罗、卡莱姆利—奥兹詹与沃洛索维奇（Alfaro, Kalemli-Ozcan and Volosovych，2008）用1970至2000年的数据检验，发现制度质量，包括产权保护、合同执行和政府的可信程度，是解释资本流向的最重要因素。还有一个更难解释的现象，古兰沙与让纳（Pierre-Olivier Gourinchas and Olivier Jeanne，2013）发现，在发展中国家之间，资本更多地流向生产率增长慢的国家，他们称之为「配置之谜」。普拉萨德、拉詹与苏布拉马尼安（Prasad, Rajan and Subramanian，2007）也发现，增长较快的发展中国家对外国资本的依赖反而较少，中国在多数年份是资本的净输出国。

这些研究说明，穷国的资本收益只在纸面上很高。人力资本不足、自然资源占收入比重大、产权和合同缺乏保障，都会使投资者在穷国实际得到的回报远低于模型的计算值，资本于是留在富国，或者从穷国流向富国。

十、模型的边界

加入人力资本的索洛模型解释了收入差距的大部分，也使理论收敛速度与数据相符，但它的局限同样明显。技术水平 $A$ 仍然是外生的，回归把各国的技术差别当作随机误差，而发展核算显示这恰恰是收入差距的最大来源。两种资本的投资率也是给定的，模型不能解释为什么有的国家储蓄多、教育多。

各国数据本身也有限度。跨国回归中的变量相互纠缠，教育既是增长的原因，也随收入提高而增加，系数不能简单读成因果效应；人力资本指数主要反映受教育年限，不能反映教育质量的差别，国际学生能力测试显示同样年限的教育在不同国家学到的东西差别很大。σ与β两种收敛指标在同一时期给出不同的图景，也提醒读者，「穷国在追赶」与「差距在缩小」是两个需要分别检验的命题。

十一、几个常见误解

第一个误解是把条件收敛读成「穷国注定追不上」。条件收敛说的是各国向自己的稳态靠拢，稳态本身由储蓄、教育、人口增长和技术吸收能力决定，这些条件可以改变。韩国在1960年代的人均收入与许多非洲和拉丁美洲国家相近，此后投资率和入学率大幅提高，稳态随之上移，它追赶的对象也从原来的低水平变成了发达国家。模型给出的结论是追赶需要条件，条件改善以后，追赶就会发生。

第二个误解是把「增长快」等同于「在收敛」。一个国家增长快，可能因为它离自己的稳态远，也可能因为它的稳态在上移，例如储蓄率提高或者开始引进外国技术。前者是收敛机制在起作用，后者是稳态本身在变化，回归中如果不控制稳态的决定因素，两种情形就会混在一起。中国过去四十年的高速增长两种成分都有，资本积累的追赶效应和制度、开放带来的稳态上移同时发生。

第三个误解是把回归中的 β 系数直接当作收敛速度。第二节已经说明，系数 $b$ 与收敛速度 $\lambda$ 由 $b=(1-e^{-\lambda T})/T$ 联系，时段越长，同样的 $\lambda$ 对应的 $b$ 越小。用十年数据和用六十年数据估出来的系数不能直接比较，要先换算成 $\lambda$。另外，各国的稳态若有未被控制的差别，例如制度质量，估计出的收敛速度也会有偏差，这是跨国增长回归长期受到质疑的原因之一。

小结

概念	含义	核心公式或结论
绝对收敛	穷国无条件地增长更快	1960—2019年各国数据不支持；1990年后出现微弱迹象
条件收敛	各国向自己的稳态收敛	控制稳态因素后显著，收敛速度每年约1.4%—3%
β系数与收敛速度	由回归系数换算	$b=(1-e^{-\lambda T})/T$
σ收敛	收入离散程度缩小	β收敛不保证σ收敛
曼昆—罗默—韦尔模型	加入人力资本	储蓄弹性由0.5升到1，$\lambda=(1-\alpha-\beta)(n+g+\delta)$
发展核算	拆分收入差距	生产率差别至少占一半
卢卡斯悖论	资本不流向穷国	人力资本、自然资源份额、制度与风险

本课的结论有三条。第一，各国并不向同一个收入水平收敛，起点低的国家只有在储蓄、教育和制度条件相近时才会追上富国。第二，加入人力资本后，索洛模型可以解释各国收入差异的大部分，并给出与数据相符的收敛速度。第三，物质资本和人力资本之外，生产率差别仍然是收入差距的最大来源，下一课从这里讲起。

课后练习

练习一　在曼昆—罗默—韦尔模型中取 $\alpha=\beta=1/3$。物质资本投资率从20%提高到30%，其他条件不变，稳态人均收入提高多少？在只有物质资本、$\alpha=1/3$ 的索洛模型中又提高多少？

练习二　两国的 $n+g+\delta$ 相同。甲国 $s_k=30\%$、$s_h=15\%$，乙国 $s_k=15\%$、$s_h=5\%$。取 $\alpha=\beta=1/3$，两国的稳态人均收入相差多少倍？

练习三　用某个国家组30年的数据做条件收敛回归，初始收入对数的系数为−0.01。隐含的收敛速度是多少？半衰期多长？

练习四　某一时期的回归显示明显的 β收敛，同期各国人均收入对数的标准差却在扩大。这是否矛盾？请说明理由。

练习五　取资本份额0.4。两国人均收入相差15倍时，按柯布—道格拉斯函数推算，资本边际产出相差多少倍？若经人力资本调整后两国的有效收入只差3倍，资本边际产出又相差多少倍？

参考答案

练习一　加入人力资本的模型中，稳态收入对 $s_k$ 的弹性为 $\alpha/(1-\alpha-\beta)=1$，收入提高到原来的1.5倍，即提高约50%。只有物质资本时弹性为0.5，收入提高到 $1.5^{0.5}\approx1.22$ 倍，即约22%。

练习二　弹性均为1，稳态收入之比为 $(0.30/0.15)\times(0.15/0.05)=2\times3=6$ 倍。

练习三　$1-30b=0.7$，$\lambda=-\ln0.7/30\approx1.2\%$，半衰期 $\ln2/\lambda\approx58$ 年。

练习四　不矛盾。β收敛说明平均而言起点低的国家增长更快，但各国每年还受到新的冲击，这些冲击不断拉大差距。若冲击的影响超过收敛的力量，标准差仍会扩大。1960至2019年的数据正是这种情形。

练习五　资本边际产出与人均收入的 $-(1-\alpha)/\alpha$ 次方成正比，$(1-\alpha)/\alpha=1.5$。收入相差15倍时，资本边际产出相差 $15^{1.5}\approx58$ 倍；有效收入相差3倍时，相差 $3^{1.5}\approx5.2$ 倍。

数据说明

第三节与第四、六节的回归均由本刊根据佩恩世界表11.0计算。人均收入水平用按支出法计算的购买力平价实际GDP除以人口，增长率用不变价国民账户GDP除以人口计算；投资率为各年投资占GDP比重的算术平均；人口增长率为期间年均对数增长率。样本限于期初人口在一百万以上、投资率数据缺失不超过五分之一的经济体。增长回归的条件变量为投资率、人口增长率加0.05与期初人力资本指数的对数。不同的样本、时段和变量定义会得到不同的系数，表中数字用于说明方法与量级。

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