债务动态方程：政府债务什么时候会失控？

按国际货币基金组织的数据，2024年日本一般政府总债务约为GDP的215%，意大利约为135%，美国约为122%，希腊约为155%。日本的债务率最高，长期国债利率却长期接近零，没有出现债务危机；希腊在2010年债务率约为148%时就失去了市场融资能力，两年后对私人债权人的债务进行了大规模重组。债务率本身显然不足以判断一国的债务会不会失控。

本课讨论政府债务的动态。政府债务占GDP的比重怎样随时间变化，什么条件下它会稳定下来，什么条件下它会不断上升。学完本课，读者应能写出债务动态方程，计算稳定债务所需的基本财政余额，解释利率与增长率之差为什么是债务分析中最重要的一个数，也能说明市场信心、货币主权和债务结构怎样影响可持续性。前置知识只需要增长率与比率的基本运算。

一、几个基本概念

先区分几个经常混用的概念。财政赤字是政府一年内支出超过收入的部分，是流量；政府债务是历年赤字累积起来的欠款，是存量。财政赤字又分为两部分，一部分是为已有债务支付的利息，另一部分是利息以外的收支差额，称为基本财政余额（primary balance）。基本余额为正称为基本盈余，表示政府的非利息收入大于非利息支出，有余钱用来付息还债；为负称为基本赤字。

衡量债务负担，通常用债务与GDP的比率，即债务率。用比率的原因在于，GDP代表经济的规模，也大致代表政府可以征税的税基。一万亿元债务对一个GDP为五万亿元的经济是沉重的负担，对一个GDP为一百万亿元的经济则相对轻微。债务率上升，意味着债务增长快于经济；债务率下降，债务的绝对数量即使还在增加，相对负担也在减轻。

本课的数据使用一般政府总债务，即中央政府、地方政府与社会保障基金的债务总额，不扣除政府持有的金融资产。扣除金融资产后的净债务往往低得多，日本尤其如此，读者在比较不同来源的数字时要注意口径。

二、推导债务动态方程

设 $D_t$ 为第 $t$ 年末的政府债务，$i$ 为债务的平均名义利率，$PB_t$ 为第 $t$ 年的基本余额（盈余为正）。政府今年要为去年的债务付息，再加上今年的基本赤字，这些都要靠新借债来支付，所以

$$D_t=(1+i)D_{t-1}-PB_t$$

两边除以当年名义GDP $Y_t$。设名义GDP增长率为 $g$，即 $Y_t=(1+g)Y_{t-1}$，用小写字母表示占GDP的比重，$d_t=D_t/Y_t$，$pb_t=PB_t/Y_t$，得到

$$d_t=\frac{1+i}{1+g}\,d_{t-1}-pb_t$$

两边同减 $d_{t-1}$，整理成债务率变化的形式：

$$\Delta d_t=\frac{i-g}{1+g}\,d_{t-1}-pb_t$$

这就是债务动态方程。它把债务率的变化拆成两部分。第一部分是「滚雪球效应」，利率高于增长率时，已有债务的利息使债务增长快于经济，债务率自动上升；利率低于增长率时，经济增长稀释了债务，债务率自动下降。第二部分是基本余额，基本盈余使债务率下降，基本赤字使债务率上升。

利率与增长率都可以用名义值，也可以都用实际值，两者的差 $i-g$ 近似等于实际利率减实际增长率，通货膨胀在两边相互抵消。以下用 $r$ 表示利率，$g$ 表示增长率，二者口径一致即可。年份间隔很短或增长率不高时，方程常近似写成 $\Delta d\approx(r-g)d-pb$。

现实中的债务变化还有一项没有写进方程，称为存量—流量调整，包括政府为救助银行注资、汇率变动对外币债务的影响、出售国有资产的收入等，它们改变债务存量，却不经过基本余额。2008年金融危机后多个国家的债务率跳升，有相当一部分来自这一项。

三、稳定债务所需的基本余额

令 $\Delta d=0$，可以求出使债务率保持不变所需的基本余额：

$$pb^*=\frac{r-g}{1+g}\,d$$

这个公式是财政可持续性分析中最常用的工具。设一个经济体的债务率为120%，利率4%，名义增长率3%，那么 $pb^*=0.01/1.03\times1.2\approx1.17\%$。政府每年需要大约GDP 1.2%的基本盈余，才能让债务率不再上升；如果基本余额为零，债务率每年上升约1.2个百分点，四十年后接近180%。

债务率越高，同样的利率增长率差所要求的基本盈余越大。$r-g$ 上升一个百分点，债务率120%的经济体需要多拿出GDP的1.2%，债务率200%的经济体需要多拿出2%。这说明高债务经济对利率变化格外敏感，利率上升会通过债务动态方程迅速放大为财政压力。

$r-g$ 为负时情况完全不同。这时即使政府维持一定的基本赤字，债务率也不会无限上升，它会收敛到一个有限的水平。由 $d=\frac{1+r}{1+g}d-pb$ 解出长期债务率

$$d^{\infty}=\frac{(1+g)\,(-pb)}{g-r}$$

例如利率2%，增长率4%，基本赤字为GDP的2%，长期债务率约为 $0.02\times1.04/0.02=104\%$。只要利率持续低于增长率，适度的基本赤字可以长期维持。

四、政府的跨期预算约束

债务动态方程逐年向前推，可以得到一个更根本的约束。把 $d_t=\frac{1+r}{1+g}d_{t-1}-pb_t$ 反复代入，当前的债务率等于未来各年基本余额的贴现值之和，再加上遥远未来债务率的贴现值：

$$d_0=\sum_{t=1}^{T}\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{t}pb_t+\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{T}d_T$$

当 $r\gt g$ 时，如果要求最后一项在 $T$ 趋于无穷时趋于零，即政府不能永远靠借新债来支付旧债的全部利息，那么今天的债务必须由未来基本盈余的贴现值来偿还。这个条件称为非庞氏博弈条件（no-Ponzi-game condition），名称来自二十世纪初以新投资者的钱支付老投资者回报的查尔斯·庞齐（Charles Ponzi）。它说明今天的赤字迟早要由将来的盈余来弥补，区别只在于由谁、在什么时候承担。

当 $r\lt g$ 时，贴现因子 $(1+g)/(1+r)$ 大于1，最后一项不会趋于零，政府在一定程度上可以「滚动」债务而不必用盈余偿还。这是布兰查德论证低利率下公共债务成本较小的数学基础，但它依赖于 $r\lt g$ 能长期持续，一旦利率上升，约束又会重新收紧。

跨期预算约束还引出一个著名的命题。罗伯特·巴罗（Robert Barro，1974）指出，如果家庭像第六课拉姆齐模型中那样无限期存续，并且关心子孙后代，那么政府今天减税、发债，家庭就会预期将来税收增加，把减税的钱全部存起来留给后代缴税，消费不变，利率也不变。政府用税收还是用债务为支出融资，对经济没有影响，这称为李嘉图等价（Ricardian equivalence），因大卫·李嘉图（David Ricardo）曾讨论过这一可能而得名。现实中李嘉图等价很少完全成立，家庭有借贷约束、寿命有限、不完全关心后代，对未来税收的预期也不完全理性，所以减税通常会增加消费。这个命题的价值在于指明了债务影响经济的各个渠道在什么条件下才会起作用。

五、互动图

下面的互动图按债务动态方程推算四十年的债务率路径，可以调节初始债务率、利率、增长率和基本余额。

默认设定下利率高于增长率一个百分点，基本余额为零，债务率从120%上升到约177%。点击「设为稳定债务的余额」，基本余额调到约1.17%，债务率保持不变。点击「r 低于 g」，利率2%、增长率4%、基本赤字2%，债务率在四十年间缓慢地向104%收敛。把利率调高几个百分点，可以看到债务率加速上升的样子，这正是「滚雪球」一词的来由。

六、历史上的利率与增长率

$r-g$ 的符号在历史上并不固定。第二次世界大战结束时，美国联邦政府公众持有的债务约为GDP的106%，英国的债务率超过200%。此后三十年，两国都没有依靠大规模的基本盈余去还债，债务率却大幅下降。霍尔与萨金特（George Hall and Thomas Sargent，2011）对美国的分解显示，债务率的下降主要来自经济增长与通货膨胀。莱因哈特与斯班西亚（Carmen Reinhart and M. Belen Sbrancia，2015）还指出，战后许多国家通过利率管制、资本管制等手段把国债利率压在通货膨胀率以下，即「金融抑制」，使实际利率长期为负，这也加快了债务率的下降。

1980年代以后情况发生变化。各国中央银行以较高的利率控制通货膨胀，实际利率上升，同时增长放缓，许多发达国家的 $r-g$ 变为正数，债务率在和平时期也持续上升。2008年金融危机以后，名义利率降到很低的水平，$r-g$ 又转为负数。2019年，奥利维耶·布兰查德（Olivier Blanchard）在美国经济学会会长演讲中指出，美国国债利率在历史上大多数时期低于名义增长率，在 $r\lt g$ 的条件下，公共债务的财政成本可能很小，福利成本也比通常认为的低。这篇演讲引发了大量讨论。2022年以后各国利率快速上升，$r-g$ 的前景再次变得不确定。

图1数据来自国际货币基金组织《世界经济展望》数据库，为一般政府总债务。

图1显示，过去三十年发达国家的债务率在两个时期跳升。第一个是2008年金融危机与随后的欧洲债务危机，第二个是2020年的新冠疫情。疫情期间各国大规模财政支出，同时GDP下降，债务率在一年内上升了十到二十多个百分点；2021年以后名义增长率因通货膨胀而升高，多数国家的债务率有所回落。

七、日本：高债务而没有危机

日本是高债务的典型案例。1990年代初资产价格泡沫破灭后，日本经济长期低增长，政府多次以财政支出刺激经济，人口老龄化又推高了社会保障支出，一般政府总债务从1990年约为GDP的55%上升到2020年的约229%。按债务动态方程，日本的名义增长率长期很低，看起来很难稳定债务。

日本没有出现危机，有几个原因。第一，日本国债的利率极低，在相当长的时间里，长期国债收益率接近零甚至为负，$r$ 很低，滚雪球效应很弱。第二，日本国债主要由国内的银行、保险公司、养老基金和日本银行持有，外国投资者的比重较小，国内储蓄充足，不容易出现外国资金突然撤离。第三，日本以本国货币借债，中央银行可以在国债市场上大量购买，市场不担心政府因缺乏本币而违约。第四，按净债务计算，日本的负担比总债务低得多。

这些条件也说明了日本的风险所在。如果通货膨胀与利率持续上升，已有的大量低利率国债到期后要以更高的利率再融资，$r$ 会逐步上升，所需的基本盈余随之增加。债务率越高，这一调整越困难。

八、希腊与欧元区：没有本国货币的债务

希腊的经历与日本形成对比。2009年底，新政府披露此前的财政赤字被严重低估，市场对希腊的财政状况失去信心，希腊国债的收益率急剧上升。利率上升又通过债务动态方程使债务更加难以维持，这种恶性循环使希腊在2010年失去了市场融资能力，接受了欧盟与国际货币基金组织的救助。2012年，希腊与私人债权人达成债务交换，私人持有的国债面值削减约53.5%，这是当时历史上规模最大的主权债务重组。

希腊危机揭示了一个在债务动态方程中看不到的因素。欧元区国家以一种自己无法发行的货币借债，处境类似于以外币借债的国家，中央银行不能为本国政府充当最后贷款人。投资者一旦担心违约，就会要求更高的利率，高利率又使违约更可能发生，市场预期可以自我实现。意大利、西班牙、葡萄牙等国在2011至2012年也承受了类似的压力。2012年7月，欧洲中央银行行长马里奥·德拉吉（Mario Draghi）表示将「不惜一切代价」保护欧元，欧洲央行随后推出了在一定条件下购买成员国国债的计划，南欧国家的国债利差大幅收窄。这一事件说明，同样的债务率在不同的制度安排下，可持续性可以相差很大。

意大利的情况介于两者之间。意大利的债务率自1990年代以来一直在100%以上，长期依靠基本盈余维持，在不少年份的基本盈余达到GDP的1%到2%以上，但低增长使 $r-g$ 长期为正，债务率很难下降。

九、美国：利率回升以后

美国的情况提供了另一种视角。美元是主要的国际储备货币，美国国债被各国中央银行和投资者视为最安全的资产，需求稳定，这使美国能以较低的利率借入大量资金。2008年至2021年，联邦政府的借款利率很低，债务率虽然从约65%上升到120%以上，利息支出占GDP的比重却变化不大。

2022年以后联邦储备系统为抑制通货膨胀大幅加息，新发行和到期续借的国债利率随之上升，利息支出迅速增加。按美国国会预算办公室的统计，2024财年联邦政府的净利息支出约为GDP的3%，在金额上超过了国防支出。这正是债务动态方程中 $r$ 上升的效果，债务率越高，同样的利率上升带来的利息负担越重。即使拥有储备货币的地位，利率与增长率之差的变化仍然会体现在财政上，区别只在于美国面临突然失去融资能力的风险较小。

十、债务有没有「临界点」

一个常被提起的问题是，债务率超过多少会损害经济增长。莱因哈特与罗格夫（Carmen Reinhart and Kenneth Rogoff，2010）在一篇影响很大的论文中报告，债务率超过90%的国家，增长率明显较低。2013年，三位研究者赫恩登、阿什与波林（Thomas Herndon, Michael Ash and Robert Pollin）重算原始数据，发现其中有表格计算错误和数据选取问题，修正后高债务国家的增长率下降幅度小得多，也看不到明确的90%门槛。债务与增长的相关性还面临因果方向的问题，低增长本身会推高债务率。

经济学界现在更多从债务动态出发判断可持续性，较少再去寻找一个统一的门槛。博恩（Henning Bohn，1998）提出一个检验方法，如果政府在债务率上升时会系统地提高基本盈余，即基本余额对债务率的反应为正，债务就是可持续的；他发现美国的数据满足这一条件。国际货币基金组织的债务可持续性分析则在不同的利率、增长与财政情景下推算债务路径，看债务率在不利情景下是否仍能稳定。

十一、降低债务率的途径

从债务动态方程可以直接读出降低债务率的几条途径。第一是基本盈余，即增加税收或削减支出，这是最直接的办法，但在经济疲弱时紧缩财政会压低增长，第十一课讨论的乘数决定了这种副作用的大小。第二是增长，较高的实际增长率扩大分母，这是最理想的方式，但政府不能随意决定增长率。第三是通货膨胀，名义增长率上升而已有债务的利率固定不变，债务的实际价值被侵蚀，这在战后英美都起过作用，但它有损价格稳定，市场预期到之后也会要求更高的利率。第四是低利率与金融抑制，把利率压在增长率以下。第五是债务重组或违约，这是代价最大的方式，会损害政府今后的信誉与融资能力。

实际中的债务调整往往是几种途径的组合。战后英美主要依靠增长、通货膨胀与金融抑制；1990年代的加拿大、瑞典等国依靠持续的基本盈余与恢复增长；希腊则在财政紧缩之外经历了债务重组。

十二、常见误解

第一种误解是把政府债务等同于家庭债务，认为最终必须全部还清。家庭的寿命有限，债务要在一生之内清偿；政府可以长期存续，只要债务率稳定、投资者愿意继续持有，到期的国债就可以不断用新债替换。跨期预算约束要求的是未来基本余额的贴现值足以覆盖债务，并不要求债务归零。二战后的英美在债务率大幅下降以后，债务的绝对数额仍在增长。

第二种误解是认为债务越低越好。政府债务可以为基础设施和教育等长期投资融资，把成本分摊给受益的各代人；国债也是金融体系中最重要的安全资产，银行、保险公司和中央银行都需要持有。债务过低同样有代价，衰退来临时缺少逆周期的财政空间，金融市场也缺少可靠的抵押品。问题在于债务的规模、用途与融资条件是否相称。

第三种误解是认为以本币借债的国家可以靠中央银行购买国债而永远没有风险。中央银行确实可以避免政府因缺少本币而违约，但大规模为财政融资会扩大货币供给、推高通胀，债务的实际负担通过通胀转嫁给持有本币资产的人。如果市场认为中央银行已经从属于财政需要，通胀预期和长期利率都会上升，这时的风险从违约变成了通胀。日本的低通胀环境使这一风险长期没有显现，它并不意味着风险不存在。

十三、模型的边界

债务动态方程是一个会计恒等式，它本身不包含行为。方程里的利率、增长率和基本余额都会相互影响，财政紧缩可能压低增长，债务上升可能推高利率，市场信心的变化可能让利率突然跳升，这些反馈都要在方程之外另行分析。用固定参数推算的债务路径只是一种情景，并不是预测。

可持续性也不只是一个数学问题。一个政府能维持多大的基本盈余，取决于政治上能接受多高的税收和多低的支出；以本币还是外币借债、债务由国内还是国外持有、期限是长是短，都影响危机发生的可能。代际公平是另一个维度，今天的债务意味着将来的税收，这个问题在第十五课的世代交叠模型中会得到更系统的讨论。

小结

概念	含义	核心公式或结论
基本余额	利息以外的财政收支差额	盈余为正
债务动态方程	债务率怎样变化	$\Delta d=\frac{r-g}{1+g}d-pb$
稳定债务的余额	债务率不变所需的基本盈余	$pb^*=\frac{r-g}{1+g}d$
$r\lt g$	增长稀释债务	适度基本赤字下债务率收敛
货币主权	以本币借债与否	影响自我实现危机的可能
跨期预算约束	债务由未来盈余偿还	$r\gt g$ 时须满足非庞氏博弈条件
可持续性检验	基本余额是否随债务上升	博恩检验、情景分析

本课的结论有三条。第一，债务率的变化由利率与增长率之差和基本余额共同决定，债务率越高，对利率变化越敏感。第二，利率低于增长率时，适度的基本赤字可以长期维持，债务率会收敛到有限水平；利率高于增长率时，必须有足够的基本盈余，否则债务率持续上升。第三，同样的债务率在不同条件下风险相差很大，货币主权、债务持有者结构和市场信心与债务率本身同样重要。

课后练习

练习一　某国债务率为90%，平均名义利率5%，名义GDP增长率3%。稳定债务率需要多大的基本盈余？若基本余额为零，一年后债务率是多少？

练习二　沿用练习一，若名义增长率因通货膨胀上升到6%，利率暂时不变，稳定债务所需的基本余额变为多少？

练习三　利率1%，名义增长率3%，政府长期维持GDP 3%的基本赤字。长期债务率会收敛到多少？

练习四　说明为什么同样的债务率，以本国货币借债的国家与欧元区成员国面临的风险不同。

练习五　列出降低债务率的五种途径，并各说明一项代价或限制。

练习六　某国债务率为200%，名义增长率2%，平均利率原为1%，基本余额正好使债务率稳定。若债务全部到期续借后平均利率升到3%，稳定债务所需的基本余额要增加多少？这相当于该国什么规模的财政调整？

参考答案

练习一　$pb^*=(0.05-0.03)/1.03\times0.9\approx1.75\%$。基本余额为零时，$d_1=1.05/1.03\times0.9\approx91.7\%$，上升约1.7个百分点。

练习二　$pb^*=(0.05-0.06)/1.06\times0.9\approx-0.85\%$，即政府可以维持GDP 0.85%的基本赤字而债务率不变。这正是通货膨胀在利率调整之前侵蚀债务的作用。

练习三　$d^\infty=0.03\times1.03/0.02\approx154.5\%$。

练习四　以本币借债的国家，中央银行可以在必要时购买国债，政府不会因为缺少本币而被迫违约，市场较少担心违约；欧元区成员国以自己无法发行的货币借债，处境类似于以外币借债，投资者担心违约时会要求更高利率，高利率又提高违约概率，危机可能自我实现。

练习五　基本盈余，紧缩可能压低增长；经济增长，政府难以直接决定；通货膨胀，损害价格稳定，市场会要求更高利率；金融抑制，扭曲资源配置、损害储蓄者；债务重组或违约，损害信誉与今后的融资能力。

练习六　原来 $pb^*=(0.01-0.02)/1.02\times2\approx-1.96\%$，即可以维持约GDP 2%的基本赤字；利率升到3%后 $pb^*=(0.03-0.02)/1.02\times2\approx+1.96\%$。所需基本余额增加约3.9个百分点的GDP，相当于从可观的基本赤字转为可观的基本盈余，这是和平时期很少见的财政调整规模，也说明高债务国对利率上升格外敏感。

数据说明

图1与正文中各国的一般政府总债务占GDP比重来自国际货币基金组织《世界经济展望》数据库。数据为年末总债务，未扣除政府持有的金融资产。正文与互动图中的利率、增长率与基本余额为说明方法所取的假设值。

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