世代交叠模型：养老金为什么影响几代人的选择？

一个人二十多岁开始工作，六十多岁退休，退休后还要生活二三十年。退休后的生活靠什么支撑，是每个社会都要回答的问题。在有些国家，今天在职的人缴纳的社会保险费，直接用来支付今天退休者的养老金；在另一些国家，每个人把缴费存入自己的账户，投资积累，退休后取用。两种制度对一代代人的影响很不相同，对整个经济的资本积累也有不同的影响。

第六课的拉姆齐模型用一个无限期存续的家庭代表整个经济，不同世代之间没有分别。这个简化在讨论养老金、政府债务和人口老龄化时就不够用了，这些问题的本质恰恰是不同世代之间的资源分配。本课介绍保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）与彼得·戴蒙德（Peter Diamond）发展的世代交叠模型（overlapping generations model，OLG）。学完本课，读者应能写出戴蒙德模型的储蓄决策与资本运动方程，求出稳态并判断经济是否动态无效率，能比较现收现付制与积累制养老金的回报，也能说明人口增长放缓为什么会削弱现收现付制。前置知识是第一课的黄金律与第六课的两期消费选择。

一、有限的生命

萨缪尔森在1958年发表的论文中提出了一个看似简单的问题。设想每个人只活两期，年轻时工作，年老时不能工作，而经济中唯一的产品无法储存。老年人想要消费，只能向年轻人要，但年轻人得不到任何回报，因为当他们老了，今天的老年人已经不在了。在这样的经济中，没有任何交易能让老年人得到消费，每个人老年时都只能挨饿。萨缪尔森指出，如果社会约定一种「社会契约」，每一代年轻人都把一部分产出交给老年人，同时相信下一代年轻人会照此对待自己，那么所有世代的福利都能提高。货币可以起同样的作用，年轻人用产品换取老年人手中的货币，年老时再用货币向下一代年轻人换取产品。

这个例子揭示了有限生命经济的一个特点，即世代之间的交易需要某种跨越世代的制度来维持。戴蒙德在1965年把萨缪尔森的思想与索洛的资本积累结合起来，建立了包含生产和资本的世代交叠模型，用它来分析政府债务对资本积累的影响。今天它是讨论养老金、公共债务和代际公平的标准工具。

二、模型设定

时间分为一期一期，每一期相当于一代人的长度，可以理解为三十年左右。每一期出生一代人，人数为 $L_t$ ，按 $L_{t+1}=(1+n)L_t$ 增长。每个人活两期，年轻时向企业提供一单位劳动，获得工资 $w_t$ ，把一部分用于消费 $c_{1t}$ ，其余储蓄 $s_t$ ；年老时不工作，靠储蓄的本息生活，消费 $c_{2,t+1}=(1+r_{t+1})s_t$ 。

每个人的目标是一生效用最大。为了得到简单的解析结果，效用取对数形式：

U_t=\ln c_{1t}+\frac{1}{1+\rho}\ln c_{2,t+1}

企业的生产函数与前几课相同， $Y=K^\alpha(AL)^{1-\alpha}$ ，技术以 $g$ 增长。为了简化，假定资本在使用一期后完全折旧，这对一期三十年的模型是合理的近似。竞争市场中工资和利率等于各自的边际产出。

每一期的资本来自上一期年轻人的储蓄。年轻人的储蓄就是他们年老时持有的资本，老年人在这一期把资本租给企业，获得利息，然后消费掉全部的本息。所以资本存量满足 $K_{t+1}=s_tL_t$ 。

三、年轻人储蓄多少

这一步与第六课的两期例子相同。由年轻和年老两期的预算约束，可以合成一个一生的预算约束

c_{1t}+\frac{c_{2,t+1}}{1+r_{t+1}}=w_t

对数效用下，两期的欧拉方程为 $c_{2,t+1}/c_{1t}=(1+r_{t+1})/(1+\rho)$ 。把它代入预算约束，得到

c_{1t}=\frac{1+\rho}{2+\rho}\,w_t,\qquad s_t=\frac{1}{2+\rho}\,w_t

对数效用有一个特殊性质，储蓄只取决于工资，与利率无关。利率上升时，储蓄的回报提高，鼓励多储蓄；同时达到同样的老年消费所需的储蓄减少，鼓励少储蓄。两种效应在对数效用下正好抵消。一般的效用函数中，储蓄对利率的反应取决于哪种效应更强。

四、资本运动与稳态

用每单位有效劳动表示， $k_t=K_t/(A_tL_t)$ 。由 $K_{t+1}=s_tL_t$ ，两边除以 $A_{t+1}L_{t+1}$ ，再代入工资 $w_t=(1-\alpha)A_tk_t^\alpha$ ，得到戴蒙德模型的资本运动方程：

k_{t+1}=\frac{(1-\alpha)\,k_t^{\alpha}}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}

这条方程的形状与第一课的索洛模型相似。下一期的资本是本期资本的凹函数，资本少时增长快，资本多时增长慢，它与45度线的交点就是稳态：

k^*=\left[\frac{1-\alpha}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}

稳态的利率由资本的边际产出决定。在资本完全折旧的设定下， $1+r^*=\alpha\,k^{*\alpha-1}$ 。

图1按第四节末的参数计算，红线与45度线的交点为稳态。资本低于稳态时，下一代的资本高于这一代，经济向稳态收敛。

取一组数字。每一期为30年，人口年增长1%，技术年进步2%，时间偏好率每年1%，则 $1+n=1.01^{30}\approx1.35$ ， $1+g=1.02^{30}\approx1.81$ ， $1+\rho\approx1.35$ 。 $\alpha=1/3$ 时，稳态资本 $k^*\approx0.040$ ，每一期的 $1+r^*\approx2.87$ ，折合年利率约3.6%。

五、竞争经济可能储蓄过多

第一课的黄金律指出，使稳态消费最大的资本水平满足资本边际产出等于 $n+g+\delta$ 。在本课的设定下，资本完全折旧，黄金律条件为 $1+r=(1+n)(1+g)$ ，即每期的利率等于有效劳动的增长率。上面的例子中 $(1+n)(1+g)\approx2.44$ ，折合每年约3.0%，稳态利率3.6%高于它，经济处在黄金律左侧，是动态有效率的。

戴蒙德模型与拉姆齐模型的一个重要区别在于，它的稳态可以落在黄金律的右侧。资本份额取较小的值时，工资在收入中的比重大，年轻人储蓄多，资本可能积累过度。仍用上面的人口、技术和偏好参数， $\alpha=0.25$ 时稳态年利率降到约2.2%， $\alpha=0.2$ 时约1.2%，都低于3.0%的有效劳动增长率，经济处在动态无效率状态。

资本份额 $\alpha$	稳态资本 $k^*$	稳态年利率	与 $n+g$ （每年约3.0%）比较
1/3	0.040	约3.6%	高于，动态有效率
0.25	0.066	约2.2%	低于，动态无效率
0.2	0.085	约1.2%	低于，动态无效率

动态无效率意味着存在一种让所有世代都受益的安排。设想政府在某一期从每个年轻人那里拿走一点，转给同期的老年人，并且以后每一期都这样做。当期的老年人白白得到一笔转移，福利增加；以后每一代人年轻时少了一点储蓄，年老时从下一代得到的转移是 $(1+n)(1+g)$ 倍，而储蓄的回报只有 $1+r$ 。当 $r\lt n+g$ 时，代际转移的回报高于储蓄，每一代人的福利都提高了。

拉姆齐模型中不会出现这种情况，原因在于无限期存续的家庭会自己完成这种调整。世代交叠经济中，每一代人只为自己的晚年储蓄，没有人代表所有世代作决定，市场竞争的结果就可能偏离黄金律。现实经济是否动态无效率，第一课介绍的阿贝尔等人（1989）的检验给出了否定的回答，至少对他们考察的发达经济体是这样。

六、货币与资产泡沫

萨缪尔森的例子还说明了货币的一种作用。货币本身没有内在价值，人们愿意持有，是因为相信下一代人也愿意接受它。在动态无效率的经济中，引入这样一种资产可以把过度的储蓄从实物资本中引开，起到与代际转移相同的作用，提高所有世代的福利。

让·梯若尔（Jean Tirole，1985）把这一思想推广到资产泡沫。资产价格超过其基本价值的部分称为泡沫，在理性预期的世代交叠经济中，泡沫只有在利率低于经济增长率时才能长期存在，因为泡沫必须以利率的速度增长，人们才愿意持有它，而它的增长又不能超过经济的增长。这个结论把资产泡沫与动态效率联系了起来，也是近年来讨论低利率时期资产价格与公共债务时经常引用的理论。

七、现收现付制与积累制

养老金制度大体有两种。现收现付制（pay-as-you-go）用当期在职者的缴费支付当期退休者的养老金，个人的缴费并不积累下来；积累制（fully funded）把每个人的缴费存入账户进行投资，退休后领取本息。

在世代交叠模型中可以直接比较两种制度的回报。积累制下，年轻时缴纳的一元钱投资于资本，年老时得到 $1+r$ 元。现收现付制下，设缴费率为工资的固定比例 $\tau$ ，今天的老年人得到的总额等于今天年轻人缴费的总额。下一代年轻人的人数是这一代的 $1+n$ 倍，工资是 $1+g$ 倍，所以每个人年轻时缴纳的一元钱，年老时能换回 $(1+n)(1+g)$ 元。现收现付制的「回报率」约为人口增长率加工资增长率，亨利·阿伦（Henry Aaron，1966）把这一关系称为社会保险悖论。

用第四节的数字可以把两种回报直接算出来。每期30年，人口年增长1%、工资年增长2%时，现收现付制每期的回报为 $(1+n)(1+g)\approx2.44$ ，折合每年约3.0%；同一经济中资本的回报为每期2.87，折合每年约3.6%，积累制略胜一筹。若人口停止增长、工资年增长降到1.5%，现收现付制每期的回报只有 $1.015^{30}\approx1.56$ ，折合每年1.5%，与积累制的差距明显拉大。两种制度孰优孰劣，随人口与增长的变化而变化，这也是许多国家在人口转型期重新讨论养老金结构的原因。

两种回报的比较又回到了动态效率。当 $r\gt n+g$ 时，积累制的回报更高；当 $r\lt n+g$ 时，现收现付制更好。对动态有效率的经济，积累制看起来更有利，但这里有一个重要的转换问题。现收现付制建立的时候，第一代退休者没有缴过费就领到了养老金，这是一笔一次性的赠予。如果改为积累制，转换期的那一代在职者既要为自己的账户缴费，又要继续为已经退休的人支付养老金，承担双重负担。把这笔隐性债务考虑进去，转换本身并不能让所有人受益。

现收现付制还会减少资本积累。年轻人预期年老时能得到养老金，自己的储蓄就少了。在上面的数字例子中，引入工资10%的现收现付缴费，稳态资本下降约27%，利率相应上升。这是戴蒙德模型中社会保障影响长期产出的主要渠道。马丁·费尔德斯坦（Martin Feldstein，1974）较早用美国数据论证了社会保障对私人储蓄的挤出，他的估计在当时引起了很大争论，后来的研究对挤出的大小看法不一。

智利在1981年把公共养老金改为以个人账户为基础的积累制，是这一领域最受关注的改革之一。此后多个拉丁美洲和东欧国家进行了类似的改革，也有一些国家在后来部分恢复了公共养老金，说明这类改革在覆盖面、管理成本和收入保障方面面临现实困难。

用一个数字可以体会转换的成本。设现收现付制的缴费率为工资的10%，养老金正好用完当期的缴费。若在某一期宣布改为积累制，当期的老年人仍要领取相当于在职者工资10%的养老金，在职者还要为自己的账户再存10%。政府若不愿让这一代人负担翻倍，可以发行国债支付当期的养老金，把成本分摊给以后的世代，这时隐性的养老金债务就变成了显性的政府债务，按第十四课的债务动态方程，它要由未来的税收或基本盈余偿还。转换能否改善效率，取决于积累制能否带来更高的储蓄和资本、能否减少对劳动供给的扭曲，这些都需要另行论证。

各国的养老金体系实际上多是两种制度的混合。世界银行在1994年的报告《防止老龄危机》中提出「多支柱」的框架：第一支柱是公共的、通常为现收现付的基本养老金，承担再分配和最低保障；第二支柱是强制性的积累制账户；第三支柱是自愿的个人储蓄与商业保险。不同支柱的回报来自不同的源头，现收现付部分依赖人口与工资的增长，积累部分依赖资本的回报，组合起来可以分散人口风险与金融市场风险。

八、人口增长放缓

现收现付制的回报取决于人口增长率，人口增长放缓直接削弱这种制度。按世界银行的数据，日本的人口在2010年代转为下降，2024年人口增长率约为−0.4%；意大利自2015年前后开始负增长；中国在2022年转为负增长，2024年约为−0.1%；韩国的人口增长率已接近零。美国和印度的人口仍在增长，但速度都低于1990年代。

图2数据来自世界银行世界发展指标。

在世代交叠模型中， $n$ 下降有两方面的影响。对现收现付制，每个退休者对应的在职缴费者减少，在缴费率不变时养老金下降，在养老金不变时缴费率必须上升，越来越多的国家选择提高退休年龄、调整养老金的计算方式。

这一关系可以写成一条简单的平衡式。设在职者人数为 $L_w$ ，退休者人数为 $L_r$ ，平均工资为 $w$ ，平均养老金为 $b$ ，现收现付制要求当期缴费等于当期支出， $\tau wL_w=bL_r$ ，于是

\tau=\frac{b}{w}\cdot\frac{L_r}{L_w}

缴费率等于替代率（养老金占工资的比例）乘以老年赡养比（退休者与在职者之比）。替代率为40%、每四个在职者供养一个退休者时，缴费率为10%；赡养比上升到每两个在职者供养一个退休者，维持同样的替代率，缴费率就要翻倍到20%。政府能调整的只有三个量，提高缴费率、降低替代率，或者通过延迟退休、提高劳动参与率改变赡养比。延迟退休同时减少分子、增加分母，所以对平衡式的作用比单独调整另外两个量更大。对资本积累，人口增长放缓使每单位有效劳动的资本上升，利率下降，这与第一课索洛模型的结论一致。一些研究把人口老龄化列为发达国家长期实际利率下降的原因之一。

人口老龄化还有另一个来源，即寿命延长。两期模型把老年期的长度固定为一期，现实中退休后的余命在过去几十年里明显增加。在退休年龄不变时，余命延长意味着同一时刻的退休者更多，每个退休者领取养老金的年数也更长，现收现付制的赡养比和积累制账户需要覆盖的年数同时上升。把退休年龄与预期寿命挂钩，是一些国家应对这一变化的制度安排。这种安排让退休年龄随余命自动调整，减少了每次改革都要重新争论的政治成本。

需要注意的是，图中的数字是总人口的增长率，与养老金直接相关的是劳动年龄人口与退休人口的比率，在出生率下降的国家，这一比率的变化往往比总人口更快、更早。

九、政府债务与世代

戴蒙德1965年建立这个模型，最初正是为了研究政府债务。在拉姆齐模型中，若李嘉图等价成立，政府用债务还是用税收融资对经济没有影响。世代交叠模型中情况不同。政府发行国债，年轻人用储蓄购买国债，可用于资本的储蓄就减少了，稳态资本下降，这种影响在长期持续存在。今天发行的债务，部分由将来的世代以更低的资本和工资来承担。

这一结论在 $r\lt n+g$ 时有所变化。动态无效率的经济中，政府债务的作用类似于萨缪尔森的社会契约，可以减少过度的资本积累，提高所有世代的福利。第十四课提到的布兰查德（2019）的分析，就是在世代交叠框架下讨论低利率时期公共债务的成本，他指出在 $r\lt g$ 的条件下，债务的福利成本可能比通常认为的小。

十、常见误解

第一种误解是把现收现付制等同于庞氏骗局。两者都用后来者的钱支付先来者，区别在于可持续的条件。庞氏骗局要求参与者以越来越快的速度增加，迟早会崩溃；现收现付制只要求经济的人口与工资保持增长，并由法律保证每一代人都参加，它的回报率就是 $n+g$ ，可以长期维持。萨缪尔森在1967年的一篇专栏中就用这个比喻说明，一个增长中的经济可以长期维持这种代际契约。它的风险在于 $n+g$ 下降，这正是老龄化社会面对的问题。

第二种误解是认为个人账户「钱是自己的」，所以一定更安全。积累制把人口风险换成了金融市场风险，退休时恰逢资产价格下跌的一代人，账户价值可能大幅缩水；通货膨胀会侵蚀名义收益；个人也很难准确预计自己能活多久，账户可能在晚年用尽。积累制的养老金通常需要配合年金化、最低收益保障或公共基本养老金，才能起到养老保险的作用。

第三种误解是认为积累制必然提高国民储蓄。如果转换期的养老金支出由发行国债来弥补，个人账户中多出的储蓄正好被政府多出的借款抵消，国民储蓄和资本存量都不变，转换只是把隐性债务变成了显性债务。只有当转换伴随着增税或削减支出，即由某些世代实际承担转换成本时，国民储蓄才会上升。

十一、模型的边界

两期的世代交叠模型高度简化。现实中的人生有许多期，收入随年龄变化，人们会为子女留下遗产，也会面临寿命和健康的不确定性。遗产动机强时，世代之间又被联系起来，经济会接近拉姆齐模型的情形；寿命不确定时，年金和养老保险的价值就会显现。研究者通常用包含几十个年龄组的定量世代交叠模型来分析具体的养老金改革，结论的方向与两期模型一致，大小则依赖于具体的参数。

模型还假定劳动供给固定、退休年龄给定。现实中的养老金制度会影响人们的工作年限和退休决策，提高退休年龄本身就是应对老龄化的主要手段之一。世代交叠模型提供的是一个思考代际分配的框架，具体的养老金设计还需要考虑风险分担、收入再分配和制度的可信性。

小结

概念	含义	核心公式或结论
两期生命	年轻时工作储蓄，年老时消费储蓄	对数效用下 $s=w/(2+\rho)$
资本运动	下一代的资本来自这一代的储蓄	$k_{t+1}=\frac{(1-\alpha)k_t^\alpha}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}$
动态无效率	竞争经济可能储蓄过多	$r\lt n+g$ 时代际转移可使所有世代受益
现收现付制	在职者缴费付给退休者	回报约为 $n+g$
积累制	个人账户投资积累	回报为 $r$ ，转换有双重负担
人口老龄化	$n$ 下降	削弱现收现付制，压低利率

本课的结论有三条。第一，在有限生命的经济中，竞争市场的储蓄可能偏离黄金律，甚至储蓄过多，这与拉姆齐模型不同。第二，现收现付制的回报约为人口增长率加工资增长率，积累制的回报是资本的利率，两者孰优取决于经济是否动态有效率，而从现收现付制转向积累制要承担转换期的双重负担。第三，人口增长放缓削弱现收现付制，同时压低利率，养老金改革与政府债务都是代际分配问题，需要在世代交叠的框架中分析。

课后练习

练习一　在戴蒙德模型中，一个人的效用为 $\ln c_1+\frac{1}{1+\rho}\ln c_2$ ，工资为 $w$ 。证明储蓄为 $w/(2+\rho)$ ，并说明为什么它与利率无关。

练习二　取 $\alpha=0.3$ ，每期 $(1+n)(1+g)=2$ ， $2+\rho=2.5$ ，资本完全折旧。求稳态资本 $k^*$ 与每期的 $1+r^*$ ，判断经济是否动态有效率。

练习三　某国人口年增长0.5%，实际工资年增长1.5%，长期实际利率为3%。按世代交叠模型的逻辑，现收现付制与积累制哪种回报更高？

练习四　说明为什么从现收现付制改为积累制不能让所有世代都受益。

练习五　人口增长率下降对现收现付制的养老金和对经济的利率各有什么影响？

练习六　某国现收现付制的替代率为45%，现在每3个在职者供养1个退休者，二十年后预计每2个在职者供养1个退休者。维持替代率不变，缴费率要从多少升到多少？如果改为把替代率降到多少，可以保持缴费率不变？

参考答案

练习一　一生预算约束为 $c_1+c_2/(1+r)=w$ 。欧拉方程 $c_2/c_1=(1+r)/(1+\rho)$ 代入得 $c_1[1+1/(1+\rho)]=w$ ， $c_1=\frac{1+\rho}{2+\rho}w$ ， $s=w-c_1=\frac{w}{2+\rho}$ 。利率上升的替代效应鼓励储蓄，收入效应使达到同样老年消费所需的储蓄减少，对数效用下两者正好抵消。

练习二　 $k^*=[0.7/(2\times2.5)]^{1/0.7}=0.14^{1.43}\approx0.060$ ， $1+r^*=0.3\times k^{*-0.7}=0.3/0.14\approx2.14$ 。它高于 $(1+n)(1+g)=2$ ，经济动态有效率。

练习三　现收现付制的回报约为 $0.5\%+1.5\%=2\%$ ，积累制为3%，积累制回报更高。

练习四　现收现付制建立时，第一代退休者没有缴费就领取了养老金。转为积累制时，已经退休或临近退休的人仍要领取养老金，这笔支出要由转换期的在职者负担，他们同时还要为自己的账户缴费，承担双重负担。把这笔隐性债务计入，转换的收益会被抵消。

练习五　对现收现付制，缴费者相对退休者减少，回报率下降，缴费率不变时养老金下降，养老金不变时缴费率要上升。对经济，人口增长放缓使每单位有效劳动的资本上升，资本的边际产出与利率下降。

练习六　由 $\tau=(b/w)(L_r/L_w)$ ，现在 $\tau=0.45/3=15\%$ ，二十年后为 $0.45/2=22.5\%$ 。保持缴费率15%不变，替代率要降到 $0.15\times2=30\%$ 。

数据说明

图2的人口增长率来自世界银行世界发展指标，为总人口的年增长率。图1与第四、五、七节的数字为模型计算，每期按30年、人口年增长1%、技术年进步2%、时间偏好率每年1%折算，资本每期完全折旧，现收现付制的数字按缴费率10%求稳态。

参考文献

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