纳什均衡：为什么理性的选择未必带来好的结果？

两家加油站开在同一个路口，每天早上各自决定油价。一家降价，就能把对面的顾客吸引过来；两家都降价，谁也没有多卖，只是都少赚了。两个国家在贸易谈判中也面对类似的处境，一国单方面提高关税可以改善自己的贸易条件，两国都提高关税，双方的福利都下降。这类问题的共同点在于，每个参与者的最优选择取决于别人怎么选，而别人的选择又取决于他自己。

前面各课的模型大多假定个人面对给定的价格做决策，别人怎么做通过市场价格间接影响他。参与者很少、彼此直接影响时，这种处理就不够了，需要一套专门分析策略互动的工具，即博弈论（game theory）。约翰·纳什（John Nash）在1950年提出的均衡概念是这套工具的核心，他因此与约翰·海萨尼（John Harsanyi）、莱因哈德·泽尔腾（Reinhard Selten）分享了1994年诺贝尔经济学奖。学完本课，读者应能把一个策略互动写成支付矩阵，能找出占优策略和纯策略纳什均衡，能求解混合策略均衡，能推导古诺与伯特兰两种寡头竞争的结果，也能用重复博弈说明合作在什么条件下可以维持。前置知识只需要一元函数求极值。

一、从冯·诺伊曼到纳什

博弈论作为一门学科，通常以约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）与奥斯卡·摩根斯滕（Oskar Morgenstern）1944年出版的《博弈论与经济行为》为起点。这本书系统地分析了二人零和博弈，即一方所得恰为另一方所失的情形，证明了这类博弈存在「最小最大」解。零和博弈适合描述棋类和军事对抗，经济活动中的互动却大多不是零和的，交易可以让双方都受益，价格战可以让双方都受损。

纳什在普林斯顿读博士时把分析推广到了任意人数、非零和的博弈。他1950年发表在《美国国家科学院院刊》上的一页纸论文，以及1951年发表在《数学年刊》上的《非合作博弈》，给出了现在所说的纳什均衡的定义，并证明了只要允许随机选择策略，任何有限博弈都至少存在一个这样的均衡。几乎同时，兰德公司的梅里尔·弗勒德（Merrill Flood）与梅尔文·德雷舍（Melvin Dresher）设计了一个实验博弈，阿尔伯特·塔克（Albert Tucker）在一次讲座中给它配了两个嫌犯的故事，这就是后来家喻户晓的囚徒困境。

二、策略式博弈与占优策略

一个策略式博弈由三部分组成：参与者、每个参与者可选的策略、每种策略组合下各参与者得到的支付。两个参与者、每人两种策略时，可以把它写成一张支付矩阵。下面是囚徒困境的标准形式，表中每格前一个数是甲的支付，后一个数是乙的支付，数字越大越好。

甲＼乙	合作（沉默）	背叛（揭发）
合作（沉默）	3，3	0，5
背叛（揭发）	5，0	1，1

先看甲。如果乙合作，甲背叛得5、合作得3，背叛更好；如果乙背叛，甲背叛得1、合作得0，背叛仍然更好。无论乙怎么选，背叛都给甲带来更高的支付，背叛是甲的严格占优策略（dominant strategy）。乙的处境完全对称，背叛也是乙的占优策略。两个理性的参与者都会背叛，各得1。

可是两人都合作时各得3，比各得1好得多。每个人按自己的利益作出最优选择，结果却对两个人都不好，个体理性与集体理性在这里分开了。这就是本课标题的意思。囚徒困境之所以重要，是因为它描述了大量现实情形：寡头之间的价格战、国家之间的军备竞赛和关税战、公共资源的过度使用，结构都与它相同。

三、纳什均衡

大多数博弈中没有占优策略，需要一个更一般的解概念。纳什均衡（Nash equilibrium）是这样一组策略：给定其他人的策略，没有任何一个参与者能通过单方面改变自己的策略得到更高的支付。换句话说，每个人的策略都是对其他人策略的最优反应（best response）。用符号写，设 $s_i$ 为参与者 $i$ 的策略，$s_{-i}$ 为其他人的策略，$u_i$ 为支付函数，策略组合 $s^*$ 是纳什均衡，当且仅当对每个参与者 $i$ 和他的每个可选策略 $s_i$，都有

$$u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\ \ge\ u_i(s_i,s_{-i}^*)$$

纳什均衡是一种「没有人后悔」的状态。它并不要求结果对大家最好，只要求每个人在别人不变的前提下没有动机改变。囚徒困境中（背叛，背叛）是纳什均衡，（合作，合作）不是，因为任何一方在对方合作时都想改成背叛。

在支付矩阵中寻找纯策略纳什均衡，可以用画线法。对乙的每个策略，在甲支付最高的那一格下划线；对甲的每个策略，在乙支付最高的那一格下划线；两个数字都被划线的格子就是纳什均衡。下面是一个协调博弈，两家企业选择技术标准，选同一个标准才能互相兼容。

甲＼乙	标准A	标准B
标准A	4，3	0，0
标准B	0，0	3，4

这个博弈有两个纯策略纳什均衡，即（A，A）和（B，B）。两家都希望选同一标准，但各有偏好。纳什均衡告诉我们哪些结果是稳定的，却不能告诉我们最后会落在哪一个，历史、惯例、先行者的承诺都可能起作用。录像带、电源插头和铁路轨距的标准之争，都带有这种多重均衡的特点。

四、混合策略

有些博弈中没有纯策略纳什均衡。足球点球是一个常被引用的例子。罚球者可以射向左边或右边，守门员可以扑向左边或右边。设罚球者射向左边、守门员扑向左边时进球概率为0.6，扑错方向时为0.95；射向右边、守门员扑向右边时进球概率为0.7，扑错方向时为0.9。罚球者希望进球概率高，守门员希望低，这是一个零和博弈。

罚球者＼守门员	扑左	扑右
射左	0.60	0.95
射右	0.90	0.70

表中只写罚球者的进球概率，守门员的支付是它的相反数。任何一组纯策略都会有一方想改变，罚球者总想射向守门员不扑的一侧，守门员总想扑向罚球者射的一侧。这时均衡要求双方随机选择，即使用混合策略（mixed strategy）。

求解的关键是无差异条件。在均衡中，一个参与者之所以愿意随机，是因为两个纯策略给他的期望支付相等。设守门员扑左的概率为 $q$，罚球者射左与射右的进球概率应当相等：

$$0.60q+0.95(1-q)=0.90q+0.70(1-q)\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{0.25}{0.55}\approx0.455$$

设罚球者射左的概率为 $p$，守门员扑左与扑右时的进球概率应当相等：

$$0.60p+0.90(1-p)=0.95p+0.70(1-p)\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{0.20}{0.55}\approx0.364$$

均衡时罚球者约36%的时候射左，守门员约45%的时候扑左，进球概率约为0.79。一个值得注意的结论是，每个人的混合比例由对方的支付决定。罚球者射左时更容易被扑住，守门员就更少扑左，罚球者射左反而变得更安全。皮埃尔—安德烈·基亚波里、史蒂文·莱维特与蒂姆·格罗斯克洛斯（Chiappori, Levitt and Groseclose，2002）以及伊格纳西奥·帕拉西奥斯—韦尔塔（Ignacio Palacios-Huerta，2003）用职业联赛的点球数据检验，发现球员的选择相当接近混合策略均衡的预言。

五、古诺与伯特兰

寡头竞争是博弈论在经济学中最早的应用，比纳什还早一个多世纪。安托万·奥古斯丁·古诺（Antoine Augustin Cournot）在1838年分析了两家企业选择产量的竞争。设市场反需求为 $P=a-Q$，$Q=q_1+q_2$，两家企业边际成本都是 $c$。企业1的利润为

$$\pi_1=(a-q_1-q_2-c)\,q_1$$

对 $q_1$ 求导并令其为零，得到企业1的最优反应函数 $q_1=(a-c-q_2)/2$。企业2对称，$q_2=(a-c-q_1)/2$。两个反应函数的交点就是纳什均衡，称为古诺均衡：

$$q_1^*=q_2^*=\frac{a-c}{3},\qquad P^*=\frac{a+2c}{3}$$

取 $a=100$、$c=10$，每家生产30，市场价格为40，每家利润900。若两家合谋，像一家垄断企业那样把总产量定在45、价格定在55，总利润为2025，每家1012.5，比古诺均衡多。可是给定对方生产22.5，自己的最优反应是生产 $(90-22.5)/2=33.75$，此时价格降到43.75，自己的利润升到约1139。合谋对双方都更好，单方面背离对自己更有利，这又是一个囚徒困境。

约瑟夫·伯特兰（Joseph Bertrand）在1883年批评古诺，认为企业竞争的对象应当是价格。若两家产品完全相同，消费者都向价格低的一家购买，任何高于成本的价格都会被对手略微压低而抢走全部市场，唯一的纳什均衡是两家都把价格定在边际成本 $c=10$，利润为零。只有两家企业，结果却与完全竞争相同，这被称为伯特兰悖论。

竞争方式	每家产量	市场价格	每家利润
合谋（垄断）	22.5	55	1012.5
古诺（选产量）	30	40	900
伯特兰（选价格）	45	10	0

两个模型给出的结果相差很大，说明竞争的方式与竞争者的数量同样重要。产能需要事先建设、短期内难以调整的行业，比如钢铁、水泥，更接近古诺竞争；产能充裕、产品同质、价格容易调整的行业，更接近伯特兰竞争。产品差异化、产能约束和转换成本，都能缓解伯特兰式的价格战。

六、重复博弈：合作怎样维持

一次性的囚徒困境中合作无法维持，现实中却到处可见长期合作，企业之间保持默契、贸易伙伴遵守协议。原因在于许多博弈会反复进行，今天的背叛会招致明天的报复。

设上面的古诺双寡头无限期地重复博弈，每期的利润按贴现因子 $\delta$（$0<\delta<1$）折算，$\delta$ 越接近1，参与者越看重未来。考虑「冷酷触发」策略：一开始合谋，只要对方一直合谋就继续合谋；对方一旦背离，此后永远回到古诺产量。坚持合谋的现值为 $\pi^C/(1-\delta)$；背离一次可以当期多得，此后永远只得古诺利润，现值为 $\pi^D+\delta\pi^N/(1-\delta)$。合谋能够维持的条件是

$$\frac{\pi^C}{1-\delta}\ \ge\ \pi^D+\frac{\delta\,\pi^N}{1-\delta}\quad\Longleftrightarrow\quad \delta\ \ge\ \frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N}$$

代入上例的数字，$\pi^C=1012.5$，$\pi^D\approx1139.1$，$\pi^N=900$，得到 $\delta\ge126.6/239.1\approx0.53$。只要企业足够看重未来，合谋就可以作为一个均衡维持下去。这一结论被称为「无名氏定理」（folk theorem）的一个例子，它说明在无限重复的博弈中，耐心的参与者可以维持多种合作结果。这也是反垄断机构警惕寡头之间默契合谋的理论依据，企业不需要签订任何合谋协议，长期互动本身就可能维持高价。

政治学家罗伯特·阿克塞尔罗德（Robert Axelrod）在1980年前后组织了两次计算机竞赛，邀请各方提交策略参加重复的囚徒困境。获胜的是阿纳托尔·拉波波特（Anatol Rapoport）提交的「以牙还牙」（tit for tat），即第一轮合作，以后每一轮都照搬对方上一轮的做法。这个策略简单、从不首先背叛、对背叛立即报复，也愿意在对方回到合作后原谅对方。阿克塞尔罗德在1984年的《合作的进化》中总结了这些结果。

七、序贯博弈与可信的威胁

前面的博弈都是同时行动的。许多策略互动有先后顺序，后行动的一方能看到先行动者的选择，这时需要用博弈树来描述，并用逆向归纳法（backward induction）求解，即从最后一步开始，先确定后行动者在每种情况下的最优选择，再回推先行动者的选择。

考虑一个进入博弈。一家潜在进入者决定是否进入某个市场，在位企业看到对方进入后，决定是打价格战还是接纳。若进入者不进入，进入者得0，在位企业得10；若进入且在位企业接纳，双方各得4；若进入且在位企业打价格战，双方各得−2。在位企业可以事先宣称「谁进入我就打价格战」，如果进入者相信，就不会进入，在位企业保住10。

问题在于这个威胁是否可信。一旦对方真的进入，在位企业打价格战得−2，接纳得4，理性的选择是接纳。进入者预见到这一点，会选择进入，结果是双方各得4。「不进入、威胁打价格战」也满足纳什均衡的定义，因为在对方不进入时，威胁从来不需要兑现；但它依赖一个不可信的威胁。泽尔腾提出的子博弈精炼纳什均衡（subgame perfect equilibrium）要求策略在博弈的每一个阶段都是最优的，把这类依赖空洞威胁的均衡排除在外，本例中唯一的子博弈精炼均衡是「进入、接纳」。

要让威胁变得可信，在位企业需要事先改变自己的支付。它可以提前建设大量产能，使得一旦对方进入，扩大产量、压低价格对自己反而有利。承诺的价值在于减少自己的选择，这是序贯博弈中一个反直觉而重要的结论，它也解释了为什么企业会进行看似过度的产能投资，为什么谈判者有时会公开表态、断绝自己退让的余地。

八、关税战是一个囚徒困境

国际贸易谈判提供了一个清楚的应用。一个大国对进口征收关税，可以压低外国出口商的售价，改善本国的贸易条件。哈里·约翰逊（Harry Johnson，1953）证明，即使对方报复，一国征收「最优关税」仍可能对自己有利。但两国同时这样做，贸易量萎缩，双方福利通常都低于自由贸易。

本国＼外国	自由贸易	征收关税
自由贸易	10，10	4，12
征收关税	12，4	6，6

表中的数字只是示意，结构与囚徒困境相同。征收关税是每个国家的占优策略，纳什均衡是两国都征收关税，各得6，低于两国都实行自由贸易时的10。1930年美国通过《斯穆特—霍利关税法》大幅提高关税后，多国相继报复，世界贸易在大萧条中急剧收缩，常被用作这种困境的历史例证。

凯尔·巴格韦尔（Kyle Bagwell）与罗伯特·斯泰格尔（Robert Staiger，1999）把关税及贸易总协定（GATT）理解为走出这个困境的制度安排。多边谈判让各国同时、对等地削减关税，互惠原则保证一国的让步换得对方的让步；争端解决机制则提供了重复博弈中的报复手段，背离规则的国家会面对授权的报复。用本课的语言说，贸易协定把一次性的囚徒困境变成了有规则约束的重复博弈。

九、公共资源与多人困境

囚徒困境推广到多人，就是公共资源的问题。设一片渔场由10户渔民共用，每户可以选择出海1条船或2条船。渔场的总产出取决于船只总数，船越多，每条船的捕获越少。设船只总数为 $N$ 时每条船的收入为 $20-N$，每条船的成本为4。

若每户出1条船，$N=10$，每条船收入10，每户净得 $10-4=6$。若某一户单独改为2条船，$N=11$，每条船收入9，这一户净得 $2\times9-8=10$，比6多，所以每户都有增加船只的动机。增加船只会一直持续到没有人再想改变为止。可以验算，船只总数达到15时达到纳什均衡，即一半渔户出2条船、一半出1条船，每条船收入5，出2条船的户净得2，出1条船的户净得1，没有人愿意单方面增减船只。全体渔民的总收益从每户都出1条船时的60降到15，每个人的最优选择叠加起来，使渔场被过度使用。加勒特·哈丁（Garrett Hardin）在1968年把这类现象称为「公地悲剧」。

埃莉诺·奥斯特罗姆（Elinor Ostrom）研究了世界各地延续数百年的公共资源管理制度，比如瑞士的高山牧场、日本的村有山林和西班牙的灌溉组织，发现社区可以通过自己制定规则、相互监督、逐级惩罚违规者来避免公地悲剧，并不一定需要政府管制或私有化。她在1990年出版《治理公共事务》，并于2009年与威廉姆森分享诺贝尔经济学奖。用本课的语言说，这些社区制度把一次性的多人困境变成了有监督、有报复的重复博弈。

十、实验中的博弈

博弈论的预言可以在实验室里检验。维尔纳·居特（Werner Güth）等人（1982）设计了最后通牒博弈，提议者分配一笔钱，回应者只能接受或拒绝，拒绝则两人都一无所得。用逆向归纳法求解，回应者应当接受任何正的金额，提议者只需留给对方最小的一份。大量实验的结果与此相去甚远，提议者最常见的出价是总额的四成到一半，低于两成的出价常常被拒绝。回应者宁可自己什么也得不到，也要惩罚不公平的分配。

罗斯玛丽·纳格尔（Rosemarie Nagel，1995）做了「猜数字」实验。每个参与者在0到100之间猜一个数，谁的数最接近全体平均数的三分之二，谁就获胜。唯一的纳什均衡是所有人都猜0，因为任何高于0的平均数，它的三分之二都会更小，层层推理下去只剩0。实验中第一轮的平均数在35左右，多数人只做了一两步推理；同一组人反复玩几轮之后，猜测逐步向0靠近。在一次性博弈中，人们未必能一步推理到纳什均衡，均衡更像是反复学习和调整之后的终点。

十一、常见误解

第一种误解是把纳什均衡等同于最好的结果。囚徒困境中的纳什均衡是双方背叛，双方合作对两个人都更好，却不是均衡。纳什均衡只要求每个人在给定别人策略时没有动力单方面改变，这个结果对整体是否有利要另外判断，公共资源、军备竞赛和关税战需要制度安排，原因就在这里。

第二种误解是认为混合策略就是随意乱选。第四节已经说明，混合策略中的概率由一个条件精确决定，即让对手在自己的几种选择之间无差异，所以守门员扑左的概率取决于罚球者的进球概率。伊格纳西奥·帕拉西奥斯—韦尔塔（Ignacio Palacios-Huerta，2003）用欧洲职业联赛的点球数据检验，发现罚球者和守门员的选择相当接近混合策略均衡的预言，各个方向的进球概率大致相等，选择也看不出可以被对手利用的规律。

第三种误解是认为理性的参与者一定会走到某一个确定的均衡。协调博弈有多个纳什均衡，靠左行驶和靠右行驶都是均衡，理论本身不能说明会出现哪一个，历史、惯例和沟通决定了结果。托马斯·谢林（Thomas Schelling）把人们在没有沟通时也能共同想到的那个选择称为聚焦点（focal point），它说明博弈的结果常常取决于模型之外的社会背景。

十二、模型的边界

纳什均衡要求每个参与者正确预期别人的策略，并在此基础上作出最优反应，这对理性和信息的要求都很高。实验经济学发现，在一次性的囚徒困境和公共物品博弈中，相当一部分人会合作，人们对公平的关注、对背叛者的惩罚意愿，都让实际行为偏离标准理论的预言。

多重均衡是另一个问题。协调博弈、重复博弈中往往存在许多纳什均衡，理论本身无法指出会出现哪一个。泽尔腾提出的子博弈精炼、海萨尼提出的不完全信息博弈，都是为了在序贯行动和信息不对称的情形下进一步筛选均衡，后者正是第二十三课柠檬市场与第二十四课委托代理理论的基础。

小结

概念	含义	核心结论
占优策略	无论对方怎么选都最优的策略	囚徒困境中双方都背叛
纳什均衡	每人的策略都是对他人策略的最优反应	稳定但未必对大家最好
多重均衡	一个博弈有多个纳什均衡	历史与惯例决定落在哪一个
混合策略	按概率随机选择	比例由对方支付的无差异条件决定
古诺与伯特兰	选产量与选价格的寡头竞争	例中价格分别为40与10
子博弈精炼	每个阶段的策略都是最优的	排除不可信的威胁
重复博弈	博弈无限期重复	$\delta\ge(\pi^D-\pi^C)/(\pi^D-\pi^N)$ 时合作可维持

本课的结论有三条。第一，参与者彼此直接影响时，需要用纳什均衡分析结果，均衡是「没有人愿意单方面改变」的状态，它可能对所有人都不好。第二，竞争的方式会大幅改变寡头市场的结果，选产量与选价格给出的价格可以相差很远。第三，长期反复的互动能让合作成为均衡，贸易协定、行业默契都依赖这种机制，它也意味着反垄断与贸易规则需要设计报复与监督的手段。

课后练习

练习一　找出下面博弈的全部纯策略纳什均衡（前一个数为甲的支付）：甲选上、乙选左得（2，1）；甲选上、乙选右得（0，0）；甲选下、乙选左得（0，0）；甲选下、乙选右得（1，2）。

练习二　在点球例子中，若罚球者射左、守门员扑左时进球概率提高到0.7，其他数字不变，求混合策略均衡中守门员扑左的概率。

练习三　古诺双寡头面对反需求 $P=120-Q$，边际成本都是20。求每家的均衡产量、市场价格和利润。

练习四　沿用练习三，若两家合谋按垄断产量平分市场，每家利润是多少？若一家背离，它的最优产量与利润是多少？在冷酷触发策略下，贴现因子至少多大才能维持合谋？

练习五　为什么说关税及贸易总协定把关税战从一次性博弈变成了重复博弈？请结合互惠与争端解决两个机制说明。

参考答案

练习一　（上，左）与（下，右）都是纯策略纳什均衡。

练习二　守门员扑左概率 $q$ 使罚球者两种选择无差异，$0.7q+0.95(1-q)=0.9q+0.7(1-q)$，即 $0.95-0.25q=0.7+0.2q$，解得 $q=0.25/0.45\approx0.556$。

练习三　$q_i=(120-20)/3\approx33.3$，$P=(120+40)/3\approx53.3$，每家利润 $(53.3-20)\times33.3\approx1111$。

练习四　垄断总产量为50，价格70，总利润2500，每家1250。给定对方生产25，背离者最优产量为 $(100-25)/2=37.5$，价格 $120-62.5=57.5$，利润 $37.5\times37.5\approx1406.3$。所需贴现因子为 $(1406.3-1250)/(1406.3-1111.1)\approx0.53$，与正文的结果相同，线性需求下这个临界值总是9/17。

练习五　一次性的关税博弈中征收关税是占优策略。关税及贸易总协定让成员反复进行谈判与贸易往来，互惠原则使一国降低关税时能换得对方降低关税；争端解决机制使违规的国家面对授权的报复，背离的收益被未来的损失抵消。只要各国足够重视长期的贸易关系，双方低关税就成为可以维持的均衡。

参考文献

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