拉姆齐模型：一个国家应该储蓄多少？

1928年，二十五岁的剑桥数学家弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）在《经济学杂志》（Economic Journal）上发表了一篇论文，题为《储蓄的数学理论》。他问的是一个国家应当把多少收入储蓄起来，才能让现在与将来所有世代的福利加起来最大。约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）称这篇论文是数理经济学中最了不起的贡献之一。拉姆齐两年后去世，这篇论文在相当长的时间里没有引起重视，直到1965年戴维·卡斯（David Cass）与佳林·库普曼斯（Tjalling Koopmans）把它与索洛的增长模型结合起来，形成今天宏观经济学的基准模型，通常称为拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型，简称拉姆齐模型。

第一课的索洛模型假定储蓄率是一个固定的常数，并在黄金律一节说明，储蓄率过高时降低储蓄可以让每一代人都多消费，储蓄率过低时提高储蓄要求当代人作出牺牲，是否值得「需要另外的价值判断」。拉姆齐模型给出的正是这个判断的一种形式化写法。本课讨论家庭怎样在今天消费与明天消费之间作选择，最优的储蓄率由什么决定，以及它与黄金律的关系。学完本课，读者应能写出家庭的跨期最优条件即欧拉方程，求出修正黄金律下的稳态，读懂相图与鞍点路径，并能解释为什么最优资本存量总低于黄金律水平。前置知识是第一课的稳态与黄金律，以及求导与指数增长的基本运算。

一、从固定储蓄率到最优储蓄

索洛模型的储蓄率是一个行为假设，它省略了储蓄背后的决策。现实中，家庭储蓄是因为想把消费平滑地分配到一生中，或者想给子女留下遗产；利率升高时，今天少花一元钱，明天能多花更多，储蓄的回报变了，储蓄行为也会变。储蓄率固定的模型无法讨论利率、税收和社会保障怎样影响储蓄。

拉姆齐模型用一个代表性家庭（representative household）来刻画这些选择。家庭无限期存续，可以理解为一代代人通过遗产把彼此的福利联系在一起。家庭在每一时刻决定消费多少、储蓄多少，目标是让一生的效用总和最大。企业在竞争市场上租用资本、雇用劳动，按边际产出支付利息和工资。生产函数、人口增长和技术进步与第一课完全相同，唯一的变化是储蓄率由家庭的最优选择决定。

这样做有两个好处。第一，储蓄率成为模型的结果，可以分析政策和参数怎样改变储蓄。第二，模型有了福利标准，可以问市场的结果是否最优。在没有外部性和扭曲的条件下，拉姆齐模型中竞争市场的结果与一个计划者让家庭福利最大化的结果相同，这一点是福利经济学第一定理在动态经济中的体现。

二、家庭的目标

家庭的福利是一生各时刻效用的贴现总和：

$$U=\int_0^\infty e^{-\rho t}\,u\big(c(t)\big)\,L(t)\,dt$$

$c(t)$ 是人均消费，$L(t)$ 是家庭人口，$\rho\gt 0$ 是时间偏好率，反映人们对眼前消费的偏好，$\rho$ 越大，家庭越不耐心。效用函数通常取常相对风险厌恶（constant relative risk aversion，CRRA）的形式：

$$u(c)=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta},\qquad \theta\gt 0$$

$\theta$ 越大，效用函数弯曲得越厉害，家庭越不愿意让消费在不同时期之间大起大落。$1/\theta$ 称为跨期替代弹性（intertemporal elasticity of substitution），它衡量利率变化时家庭愿意在多大程度上调整消费的时间分布。$\theta=1$ 时效用函数变为对数形式 $u(c)=\ln c$。

为了使问题有意义，效用的贴现总和必须是有限的。在人口以 $n$ 增长、技术以 $g$ 进步的经济中，这要求

$$\rho\gt n+(1-\theta)g$$

如果这个条件不成立，家庭永远觉得把消费推迟到将来更好，最优储蓄问题没有解。

三、两期的例子

连续时间的推导之前，先看一个只有两期的例子，跨期选择的逻辑在其中最清楚。设一个人第一期有收入 $Y_1$，第二期有收入 $Y_2$，可以按利率 $r$ 借贷。第一期消费 $C_1$，储蓄 $Y_1-C_1$，第二期能消费 $C_2=Y_2+(1+r)(Y_1-C_1)$。把两期合起来，预算约束为

$$C_1+\frac{C_2}{1+r}=Y_1+\frac{Y_2}{1+r}$$

左边是消费的现值，右边是收入的现值，称为一生财富。这个约束说明，在可以自由借贷的条件下，消费的时间分布与收入的时间分布无关，只受一生财富的限制。

这个人要让 $u(C_1)+\frac{1}{1+\rho}u(C_2)$ 最大。第一期少消费一单位，效用损失 $u'(C_1)$；储蓄后第二期多得 $1+r$ 单位，贴现后的效用增加 $\frac{1+r}{1+\rho}u'(C_2)$。最优时两者相等：

$$u'(C_1)=\frac{1+r}{1+\rho}\,u'(C_2)$$

这是两期形式的欧拉方程。$r=\rho$ 时 $u'(C_1)=u'(C_2)$，两期消费相等，人们把收入的起伏完全平滑掉；$r\gt \rho$ 时储蓄的回报超过不耐，第二期消费更多。取CRRA效用，$u'(C)=C^{-\theta}$，两边取对数可得 $\ln(C_2/C_1)\approx(r-\rho)/\theta$，这正是下一节连续时间欧拉方程的离散版本。

用一组数字体会。某人第一期收入100，第二期收入20，$r=\rho=5\%$。一生财富为 $100+20/1.05\approx119.0$，两期消费相等，$C_1=C_2=C$，满足 $C+C/1.05=119.0$，得 $C\approx61.0$。他在第一期储蓄39.0，第二期连本带利得到41.0，加上收入20，正好消费61.0。收入从100降到20，消费却纹丝不动，储蓄承担了全部的调整。

四、欧拉方程

家庭的选择可以用一个简单的权衡来理解。设想家庭在某一时刻少消费一点 $\Delta c$，把它储蓄起来，过一小段时间 $\Delta t$ 后再消费掉。少消费的效用损失是 $u'(c)\Delta c$；储蓄按实际利率 $r$ 增值，再消费时得到的效用是 $u'(c+\Delta c)\,e^{(r-\rho)\Delta t}\,\Delta c$，其中 $e^{-\rho\Delta t}$ 是对未来效用的贴现。在最优点，这样的调整既不会增加也不会减少福利，两边必须相等。取 $\Delta t$ 趋于零，整理得到

$$\frac{\dot c}{c}=\frac{r-\rho}{\theta}$$

这就是欧拉方程（Euler equation），它是拉姆齐模型的核心。利率高于时间偏好率时，储蓄的回报足以补偿等待的不耐，家庭选择让消费随时间增长；利率低于时间偏好率时，消费随时间下降。消费增长对利率差距的反应程度是 $1/\theta$，跨期替代弹性越大，消费路径越陡。

换成每单位有效劳动的消费 $\hat c=c/A$，并代入竞争市场的利率 $r=f'(k)-\delta$，欧拉方程变为

$$\frac{\dot{\hat c}}{\hat c}=\frac{f'(k)-\delta-\rho-\theta g}{\theta}$$

资本积累方程与第一课相同，只是储蓄改为产出减去消费：

$$\dot k=f(k)-\hat c-(n+g+\delta)k$$

欧拉方程也可以用最优控制的方法严格推出。以每单位有效劳动表示，计划者要在资本积累约束下最大化贴现效用，构造现值哈密顿函数

$$\mathcal H=e^{-(\rho-n-(1-\theta)g)t}\,u(\hat c)+\lambda\big[f(k)-\hat c-(n+g+\delta)k\big]$$

其中 $\lambda$ 是资本的影子价格，即多一单位资本在当时带来的福利增量。一阶条件 $\partial\mathcal H/\partial\hat c=0$ 要求消费的边际效用等于资本的影子价格；协态方程 $\dot\lambda=-\partial\mathcal H/\partial k$ 说明影子价格的下降速度等于资本的净回报。把两式对时间求导并消去 $\lambda$，就得到上面的欧拉方程。这个推导同时给出横截性条件 $\lim_{t\to\infty}\lambda(t)k(t)=0$，第七节会用到它。

这两条方程构成一个关于 $k$ 和 $\hat c$ 的动态系统。下文省去 $\hat c$ 的帽子，$c$ 一律指每单位有效劳动的消费。

欧拉方程有一个直接可以检验的推论。如果家庭按欧拉方程平滑消费，那么消费的变化只应来自利率的变化和对一生财富的新判断，已经可以预见的收入变化不应影响消费。米尔顿·弗里德曼（Milton Friedman）1957年的永久收入假说表达了同样的思想，消费取决于一生的平均收入，与当期收入关系不大。罗伯特·霍尔（Robert Hall）在1978年据此推出，在一定条件下消费的变化应当不可预测，近似一个随机游走。此后大量研究发现，消费对可预见的收入变化仍有一定反应，常见的解释是部分家庭面临借贷约束，或者缺乏足够的储蓄缓冲。这些发现说明欧拉方程刻画了消费决策的主要逻辑，但并非所有家庭都能按它行事。

五、稳态与修正黄金律

稳态要求两个变量都不再变化。令 $\dot c=0$，得到

$$f'(k^*)=\delta+\rho+\theta g$$

这个条件称为修正黄金律（modified golden rule）。对比第一课的黄金律 $f'(k_{GR})=\delta+n+g$，两者相差 $\rho+\theta g-n-g$。由第二节的有界性条件 $\rho\gt n+(1-\theta)g$，这个差是正数，所以最优资本的边际产出高于黄金律，最优资本存量 $k^*$ 低于黄金律资本 $k_{GR}$。

这个结论值得仔细理解。黄金律只比较不同的稳态，问哪一个稳态的消费最大；拉姆齐模型还考虑走到稳态的过程。从较低的资本出发，积累到黄金律需要牺牲当前消费，而家庭对未来的效用打了折扣，牺牲眼前去换取遥远的将来是不划算的。家庭会在资本的边际回报恰好补偿不耐与消费平滑的成本时停下来，这个位置在黄金律的左侧。所以在拉姆齐模型中，竞争经济永远不会储蓄过多，第一课所说的动态无效率不会出现。

令 $\dot k=0$ 可以求出稳态消费 $c^*=f(k^*)-(n+g+\delta)k^*$。在柯布—道格拉斯情形下 $f(k)=k^\alpha$，由修正黄金律得到

$$k^*=\left(\frac{\alpha}{\delta+\rho+\theta g}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}},\qquad s^*=\frac{(n+g+\delta)k^*}{f(k^*)}=\frac{\alpha\,(n+g+\delta)}{\delta+\rho+\theta g}$$

稳态储蓄率 $s^*$ 现在由偏好参数决定。时间偏好率越低、$\theta$ 越小，家庭越愿意储蓄，稳态资本和储蓄率越高。黄金律储蓄率等于 $\alpha$，而拉姆齐的稳态储蓄率是 $\alpha$ 乘以一个小于1的因子 $(n+g+\delta)/(\delta+\rho+\theta g)$。

六、一个数字案例

沿用第一课的技术参数：$\alpha=1/3$，$\delta=5\%$，$n=1\%$，$g=2\%$。偏好参数取 $\rho=2\%$，$\theta=2$，这在宏观经济学的定量研究中是常见的取值。先检查有界性条件，$\rho=0.02\gt n+(1-\theta)g=0.01-0.02=-0.01$，条件成立。

由修正黄金律，资本的边际产出为 $0.05+0.02+2\times0.02=0.11$，实际利率 $r=0.11-0.05=6\%$。稳态资本 $k^*=(1/3\div0.11)^{1.5}\approx5.28$，稳态产出 $y^*\approx1.741$，稳态消费 $c^*\approx1.319$，稳态储蓄率 $s^*=(1/3)\times0.08/0.11\approx24.2\%$。

这个结果与第一课的数字案例几乎重合。第一课直接假定储蓄率为24%，算出的稳态资本为5.20、实际利率约6.1%；拉姆齐模型从偏好出发，得到的储蓄率为24.2%、利率为6%。可以说，第一课那组参数对应的正是一个时间偏好率约2%、$\theta=2$ 的经济。

偏好参数	实际利率 $r$	稳态资本 $k^*$	稳态储蓄率 $s^*$
$\rho=2\%$，$\theta=1$	4.0%	7.13	29.6%
$\rho=2\%$，$\theta=2$	6.0%	5.28	24.2%
$\rho=2\%$，$\theta=4$	10.0%	3.31	17.8%
$\rho=1\%$，$\theta=2$	5.0%	6.09	26.7%
$\rho=4\%$，$\theta=2$	8.0%	4.11	20.5%
黄金律	3.0%	8.51	33.3%

表中所有偏好组合下的资本都低于黄金律的8.51。$\theta$ 对结果的影响很大，原因在于技术进步使未来的人更富有。$\theta$ 越大，家庭越在意消费的平滑，越不愿意为已经更富有的未来多作牺牲，所需的利率补偿越高，资本存量越低。黄金律对应的实际利率等于 $n+g=3\%$，拉姆齐经济的实际利率总是高于这个水平。

七、相图与鞍点路径

拉姆齐模型的动态可以用一张相图（phase diagram）完整地表示。横轴是资本 $k$，纵轴是消费 $c$。

第一条线是 $\dot k=0$ 的曲线 $c=f(k)-(n+g+\delta)k$，它是一个先升后降的驼峰，最高点在黄金律资本处。曲线下方，消费少于维持资本所需之外的剩余，资本增加；曲线上方，消费过多，资本减少。第二条线是 $\dot c=0$ 的竖线 $k=k^*$。竖线左侧资本少、边际产出高，利率高于 $\rho+\theta g$，消费上升；右侧消费下降。两条线的交点是稳态，竖线位于驼峰顶点的左侧，这正是修正黄金律低于黄金律的几何表现。

两条线把平面分成四块，每一块里的运动方向不同。仔细分析可以发现，只有一条路径通向稳态，它从左下方和右上方分别伸向交点，称为鞍点路径（saddle path）。给定初始资本 $k_0$，家庭必须选择恰好落在鞍点路径上的初始消费。消费选得太高，经济会越过 $\dot k=0$ 曲线，资本在有限时间内耗尽；消费选得太低，经济会积累过多资本，最终越过黄金律，进入资本边际产出低于 $n+g+\delta$ 的区域，这时家庭本可以在每一时刻都多消费，这条路径违反了最优性。排除后一种路径的条件称为横截性条件（transversality condition），它要求资本的贴现价值在无限远处趋于零。

下面的互动图画出了两条线和鞍点路径，并给出经济从某一初始资本出发时储蓄率的时间路径。

默认参数下，经济从稳态资本的30%出发，初始储蓄率约33%，随着资本积累逐渐降到24%。资本稀缺时利率高，储蓄的回报高，家庭多储蓄；资本接近稳态时利率下降，储蓄率随之回落。储蓄率在转型中的走向并非总是如此。可以证明，当跨期替代弹性 $1/\theta$ 大于稳态储蓄率时，储蓄率随资本增加而下降；当 $1/\theta$ 小于稳态储蓄率时，储蓄率随资本增加而上升。把 $\theta$ 调大可以观察这一变化。

八、收敛速度

在稳态附近把两条方程线性化，可以求出鞍点路径上的收敛速度。它是系统雅可比矩阵中负特征根的绝对值：

$$\mu=\frac{1}{2}\left[\sqrt{\big(\rho+\theta g-n-g\big)^2-\frac{4}{\theta}\,c^*f''(k^*)}-\big(\rho+\theta g-n-g\big)\right]$$

案例参数下 $\mu$ 约为8.2%，半衰期约8.5年，比第一课索洛模型中同样参数的5.3%更快。原因在于拉姆齐经济在资本稀缺时会主动提高储蓄率，加快积累。这与第二课所说的实证收敛速度每年约2%相差更远。加入人力资本、降低跨期替代弹性，或者引入资本的调整成本，都能让模型的收敛变慢，这也是拉姆齐模型在用于定量研究时通常要作的扩展。

九、政策实验：资本所得税

拉姆齐模型可以回答索洛模型无法回答的政策问题，资本所得税是最常用的例子。设政府对资本收入征收税率 $\tau$，并把税收一次性返还给家庭。家庭得到的税后利率为 $(1-\tau)\big(f'(k)-\delta\big)$，欧拉方程中的利率换成税后利率，稳态条件变为

$$(1-\tau)\big(f'(k^*)-\delta\big)=\rho+\theta g$$

税率越高，要求的税前边际产出越高，稳态资本越低。案例参数下，$\tau=30\%$ 时税前利率须达到 $6\%/0.7\approx8.6\%$，稳态资本从5.28降到约3.85，稳态产出下降约10%。税收返还给了家庭，下降的部分来自扭曲，即税收压低了储蓄的回报，家庭储蓄少了。

这一推理的极端形式是查姆利（Christophe Chamley，1986）与贾德（Kenneth Judd，1985）的结论，在拉姆齐模型的标准假设下，长期最优的资本所得税率为零。这个结论在理论界影响很大，也有很多后续研究指出它依赖于无限期存续的家庭、完全的资本市场等假设，在世代交叠、借贷约束或收入不平等的模型中，最优资本税率可以为正。它的意义在于把储蓄对税后回报的反应放到了政策分析的中心。

十、现实中的储蓄

拉姆齐模型解释了储蓄率与利率、偏好之间的关系，现实中的储蓄率却受到更多因素影响。按世界银行的数据，2024年中国的国民总储蓄约占国民总收入的43%，2010年一度超过50%；韩国长期在33%到40%之间，印度从1990年的约21%升到35%左右，日本约为30%，德国约为27%，美国在1990年以来多在15%到21%之间，2024年约为17%。

图1数据来自世界银行世界发展指标，日本自2000年起有数据。储蓄率包括家庭、企业与政府三部门。

各国储蓄率的差距部分可以用经济的发展阶段解释，资本稀缺时利率高，储蓄率高，与模型的转型路径一致；部分来自人口结构，劳动年龄人口比重高的时期储蓄多，这一点需要第十五课的世代交叠模型来讨论；还有一部分来自社会保障、金融市场发展、预防性储蓄等因素，代表性家庭模型无法刻画。

把模型用于定量分析时，偏好参数要从数据中估计。时间偏好率通常取每年1%到3%，与长期实际利率的水平相容。$\theta$ 的估计分歧较大，霍尔（1988）用美国总量数据估计的跨期替代弹性很小，接近零；用微观家庭数据和不同的识别方法，常常得到0.5到1之间的数值。宏观模型多取 $\theta$ 在1到4之间，正文案例取2。$\theta$ 的取值直接影响稳态利率与储蓄率，第六节的表已经显示，$\theta$ 从1变为4，稳态储蓄率从约30%降到约18%，研究者在使用模型的数字结论时，需要说明这一参数的来源。

模型的另一个用途是作为评价储蓄是否过多的基准。第一课提到的阿贝尔等人（1989）的检验发现，发达经济体处在动态有效率的一侧，这与拉姆齐模型的预言一致。实际利率长期低于经济增长率的时期，例如2010年代多数发达国家的情形，则提示代表性家庭模型可能遗漏了一些重要的东西，第十四课讨论政府债务时还会回到这个问题。

十一、从拉姆齐模型到现代宏观模型

拉姆齐模型的意义超出了增长理论。1982年，芬恩·基德兰德（Finn Kydland）与爱德华·普雷斯科特（Edward Prescott）在拉姆齐模型中加入技术冲击和家庭的劳动供给选择，用它来解释经济周期，开创了实际经济周期理论，两人因此获得2004年诺贝尔经济学奖。此后的新凯恩斯模型又加入价格黏性和货币政策，形成今天各国中央银行普遍使用的动态随机一般均衡模型。这些模型的骨架都是本课的欧拉方程和资本积累方程，家庭按欧拉方程在今天与明天之间分配消费，企业按边际产出雇用要素。

理解欧拉方程，也就理解了现代宏观模型中利率影响经济的主要渠道。中央银行提高利率，储蓄的回报上升，欧拉方程要求消费的增长更快，这在给定的未来消费下意味着今天的消费下降，总需求随之减弱。第七课的IS–LM模型和第十三课的泰勒规则会从另一个角度讨论这一渠道。

十二、模型的边界

拉姆齐模型用一个无限期存续的代表性家庭代替了一代代具体的人，这个假设方便了分析，也带来了局限。它意味着今天的人完全顾及子孙的福利，不同世代之间没有利益冲突，政府债务和社会保障对资源配置没有影响，这一点在第十五课的世代交叠模型中会被推翻。它也意味着所有家庭的储蓄行为相同，无法讨论收入和财富分配。

模型的长期增长率仍然等于外生的技术进步率 $g$。家庭的最优选择决定的是储蓄率和收入水平，增长率本身仍需第三课的罗默模型来解释。模型还假定市场完全竞争、没有失业，经济总在充分就业的状态上运行，短期的需求波动需要第七课以后的宏观模型来处理。

十三、几个常见误解

第一个误解是认为最优的储蓄率就是黄金律储蓄率。第一课的黄金律使稳态消费最大，拉姆齐模型的最优稳态却在修正黄金律上，资本存量低于黄金律水平。差别来自时间偏好，家庭更看重近期的消费，为了让遥远的后代多消费一点而今天大幅压低消费，对一个有耐心程度有限的家庭来说并不划算。所以在拉姆齐模型中，经济永远不会积累到黄金律水平，更不会出现第一课所说的动态无效率。

第二个误解是认为利率上升一定使人们多储蓄。欧拉方程说明，利率上升使消费的增长率提高，即今天少消费、明天多消费，这是替代效应。但利率上升也使储蓄者的收入增加，收入效应会推动今天的消费上升。两种效应哪个更强，取决于跨期替代弹性 $1/\theta$ 的大小，当 $\theta$ 较大时，收入效应可能占上风，储蓄率对利率的反应很小甚至为负。霍尔估计的跨期替代弹性很低，与这一可能性相符。

第三个误解是把相图中的鞍点路径看成技术细节。鞍点路径以外的所有路径，要么在有限时间内耗尽资本，要么积累过多资本而违背最优条件，只有鞍点路径同时满足欧拉方程与横截性条件。这意味着家庭的消费在任何时刻都必须跳到鞍点路径上，消费是「跳跃变量」，资本是「状态变量」。政策或预期一旦变化，消费会立即调整，资本只能逐渐变化，这种区分是理解所有现代宏观模型中政策效应的基础。

小结

层次	关键问题	核心公式
目标	家庭追求什么	$U=\int_0^\infty e^{-\rho t}u(c)L\,dt$，CRRA效用
跨期选择	消费怎样随时间变化	$\dot c/c=(r-\rho)/\theta$
动态	资本与消费怎样运动	$\dot k=f(k)-c-(n+g+\delta)k$
稳态	最优资本多少	$f'(k^*)=\delta+\rho+\theta g$
储蓄率	最优储蓄多少	$s^*=\alpha(n+g+\delta)/(\delta+\rho+\theta g)\lt \alpha$
转型	怎样走到稳态	唯一的鞍点路径，横截性条件

本课的结论有三条。第一，储蓄率可以从家庭的跨期选择中推出，欧拉方程把消费增长与利率和时间偏好联系起来。第二，最优资本由修正黄金律决定，总低于黄金律水平，代表性家庭经济不会储蓄过多。第三，储蓄对税后回报有反应，资本所得税会降低长期资本与产出，这是拉姆齐模型在政策分析中的主要用途。

课后练习

练习一　取 $\alpha=0.3$，$\delta=0.05$，$n=0.01$，$g=0.02$，$\rho=0.03$，$\theta=1$。求稳态实际利率、稳态资本与稳态储蓄率，并与黄金律储蓄率比较。

练习二　沿用练习一，若 $\theta$ 提高到3，稳态资本与储蓄率怎样变化？请解释原因。

练习三　某家庭面对的实际利率为5%，时间偏好率为2%，$\theta=2$。按欧拉方程，人均消费的增长率是多少？若利率降到2%呢？

练习四　说明为什么在拉姆齐模型中，鞍点路径以上和以下的路径都不是最优的。

练习五　在第五节的案例中引入资本所得税，税率 $\tau=20\%$，税收一次性返还。求税前边际产出与稳态资本，稳态产出下降多少？

参考答案

练习一　$r=\rho+\theta g=5\%$，$f'(k^*)=0.10$，$k^*=(0.3/0.10)^{1/0.7}=3^{1.43}\approx4.80$。$s^*=0.3\times0.08/0.10=24\%$，低于黄金律储蓄率30%。

练习二　$r=0.03+3\times0.02=9\%$，$f'(k^*)=0.14$，$k^*=(0.3/0.14)^{1/0.7}\approx2.97$，$s^*=0.3\times0.08/0.14\approx17.1\%$。$\theta$ 越大家庭越重视消费平滑，技术进步使未来更富有，家庭不愿为未来多牺牲当前消费，要求更高的利率，资本与储蓄率都下降。

练习三　$\dot c/c=(0.05-0.02)/2=1.5\%$；利率为2%时等于时间偏好率，消费增长为零。

练习四　初始消费高于鞍点路径时，经济越过 $\dot k=0$ 曲线，资本在有限时间内降到零，此后消费无法维持，违反资源约束。初始消费低于鞍点路径时，资本积累越过黄金律，资本的边际产出低于 $n+g+\delta$，家庭本可在每一时刻都多消费，违反横截性条件。只有鞍点路径同时满足资源约束与最优性。

练习五　$(1-0.2)(f'-0.05)=0.06$，$f'(k^*)=0.125$，$k^*=(1/3\div0.125)^{1.5}=(2.667)^{1.5}\approx4.35$。产出 $y^*=k^{*1/3}\approx1.633$，比无税时的1.741下降约6.2%。

数据说明

第十节的国民储蓄率来自世界银行世界发展指标，指标为国民总储蓄占国民总收入的比重。第六节的数字案例为模型计算，参数取自正文，不代表任何国家的统计数据。

参考文献

• Ramsey, F. P. (1928). A Mathematical Theory of Saving. Economic Journal, 38(152), 543–559.
• Cass, D. (1965). Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation. Review of Economic Studies, 32(3), 233–240.
• Koopmans, T. C. (1965). On the Concept of Optimal Economic Growth. In The Econometric Approach to Development Planning. Amsterdam: North-Holland.
• World Bank. World Development Indicators. 国民总储蓄占国民总收入比重（NY.GNS.ICTR.ZS）。
• Friedman, M. (1957). A Theory of the Consumption Function. Princeton: Princeton University Press.
• Hall, R. E. (1978). Stochastic Implications of the Life Cycle–Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence. Journal of Political Economy, 86(6), 971–987.
• Hall, R. E. (1988). Intertemporal Substitution in Consumption. Journal of Political Economy, 96(2), 339–357.
• Kydland, F. E., & Prescott, E. C. (1982). Time to Build and Aggregate Fluctuations. Econometrica, 50(6), 1345–1370.
• Judd, K. L. (1985). Redistributive Taxation in a Simple Perfect Foresight Model. Journal of Public Economics, 28(1), 59–83.
• Chamley, C. (1986). Optimal Taxation of Capital Income in General Equilibrium with Infinite Lives. Econometrica, 54(3), 607–622.
• Abel, A., Mankiw, N. G., Summers, L., & Zeckhauser, R. (1989). Assessing Dynamic Efficiency: Theory and Evidence. Review of Economic Studies, 56(1), 1–19.
• Barro, R. J., & Sala-i-Martin, X. (2004). Economic Growth (2nd ed.). Cambridge, MA: MIT Press. 第2章。
• Romer, D. (2019). Advanced Macroeconomics (5th ed.). New York: McGraw-Hill. 第2章A部分。
• Acemoglu, D. (2009). Introduction to Modern Economic Growth. Princeton: Princeton University Press. 第8章。